关于分布函数连续性的运用

分布函数F(x)=P{X≤x,−∞<x<+∞}

分布函数天然满足的性质有：

• 0≤F(x)≤1;limn→−∞F(x)=0;limn→+∞F(x)=1
• F(x)是单调非减函数
• F(x)是右连续函数
• 对任意的x1<x2,有P{x1<X≤x2}=F(x2)−F(x1)，解释为从负无穷大到x2(含x2)减掉从负无穷大到x1(含x1),那么剩下的左边就不含x1,右边含有x2.
• 对任意的x,P{X=x}=F(x)−F(x−0),F(x−0)指的是左极限，解释为从负无穷大到x（含x）减掉从负无穷大到x的左边极限的累加部分，因此得到的是x这一点处的概率值。

最后两条性质抓住F(x)的累加性与极限的性质可解。

看两道具体的例子应用一下。

1.F(x)为随机变量X的分布函数，则成立P(x1<X<x2)=F(x2)−F(x1)的充要条件是F(x)在x2处连续。

分析：F(x2)−F(x1)得到的是P{x1<X≤x2},现在P{x1<X≤x2}=P(x1<X<x2),可知P{X=x2}=0,即F(x)在x2处左连续，加上本身右连续，可以得出在x2处连续。

2.随机变量X的分布函数

F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,12,1−e−1,x<0,0≤x<1,1≤x

则P{X=1}=?

分析：直接运用上面分析得到的性质。可知P{X=1}=F(x=1)−F(x−0)=1−e−1−12=12−e−1.

The End.