PCA主成分分析

1、PCA算法介绍

主成分分析（Principal Components Analysis），简称PCA，是一种数据降维技术，用于数据预处理。一般我们获取的原始数据维度都很高，比如1000个特征，在这1000个特征中可能包含了很多无用的信息或者噪声，真正有用的特征才100个，那么我们可以运用PCA算法将1000个特征降到100个特征。这样不仅可以去除无用的噪声，还能减少很大的计算量。

PCA算法是如何实现的？

简单来说，就是将数据从原始的空间中转换到新的特征空间中，例如原始的空间是三维的(x,y,z)，x、y、z分别是原始空间的三个基，我们可以通过某种方法，用新的坐标系(a,b,c)来表示原始的数据，那么a、b、c就是新的基，它们组成新的特征空间。在新的特征空间中，可能所有的数据在c上的投影都接近于0，即可以忽略，那么我们就可以直接用(a,b)来表示数据，这样数据就从三维的(x,y,z)降到了二维的(a,b)。

问题是如何求新的基(a,b,c)?

一般步骤是这样的：先对原始数据零均值化，然后求协方差矩阵，接着对协方差矩阵求特征向量和特征值，这些特征向量组成了新的特征空间。具体的细节，推荐Andrew Ng的网页教程：Ufldl 主成分分析 ，写得很详细。

2、PCA算法实现

语言：Python

函数库：Numpy

[python] view plain copy

1. >>> import numpy as np  

根据上面提到的一般步骤来实现PCA算法

（1）零均值化

假如原始数据集为矩阵dataMat，dataMat中每一行代表一个样本，每一列代表同一个特征。零均值化就是求每一列的平均值，然后该列上的所有数都减去这个均值。也就是说，这里零均值化是对每一个特征而言的，零均值化都，每个特征的均值变成0。实现代码如下：

[python] view plain copy

1. def zeroMean(dataMat):        
2.     meanVal=np.mean(dataMat,axis=0)     #按列求均值，即求各个特征的均值  
3.     newData=dataMat-meanVal  
4.     return newData,meanVal  

函数中用numpy中的mean方法来求均值，axis=0表示按列求均值。

该函数返回两个变量，newData是零均值化后的数据，meanVal是每个特征的均值，是给后面重构数据用的。

（2）求协方差矩阵

[python] view plain copy

1. newData,meanVal=zeroMean(dataMat)  
2. covMat=np.cov(newData,rowvar=0)  

numpy中的cov函数用于求协方差矩阵，参数rowvar很重要！若rowvar=0，说明传入的数据一行代表一个样本，若非0，说明传入的数据一列代表一个样本。因为newData每一行代表一个样本，所以将rowvar设置为0。

covMat即所求的协方差矩阵。

（3）求特征值、特征矩阵

调用numpy中的线性代数模块linalg中的eig函数，可以直接由covMat求得特征值和特征向量：

[python] view plain copy

1. eigVals,eigVects=np.linalg.eig(np.mat(covMat))  

eigVals存放特征值，行向量。

eigVects存放特征向量，每一列带别一个特征向量。

特征值和特征向量是一一对应的

（4）保留主要的成分[即保留值比较大的前n个特征]

第三步得到了特征值向量eigVals，假设里面有m个特征值，我们可以对其排序，排在前面的n个特征值所对应的特征向量就是我们要保留的，它们组成了新的特征空间的一组基n_eigVect。将零均值化后的数据乘以n_eigVect就可以得到降维后的数据。代码如下：

[python] view plain copy

1. eigValIndice=np.argsort(eigVals)            #对特征值从小到大排序  
2. n_eigValIndice=eigValIndice[-1:-(n+1):-1]   #最大的n个特征值的下标  
3. n_eigVect=eigVects[:,n_eigValIndice]        #最大的n个特征值对应的特征向量  
4. lowDDataMat=newData*n_eigVect               #低维特征空间的数据  
5. reconMat=(lowDDataMat*n_eigVect.T)+meanVal  #重构数据  
6. return lowDDataMat,reconMat  

代码中有几点要说明一下，首先argsort对特征值是从小到大排序的，那么最大的n个特征值就排在后面，所以eigValIndice[-1:-(n+1):-1]就取出这个n个特征值对应的下标。【python里面，list[a:b:c]代表从下标a开始到b，步长为c。】

reconMat是重构的数据，乘以n_eigVect的转置矩阵，再加上均值meanVal。

OK，这四步下来就可以从高维的数据dataMat得到低维的数据lowDDataMat，另外，程序也返回了重构数据reconMat，有些时候reconMat课便于数据分析。

贴一下总的代码：

[python] view plain copy

1. #零均值化  
2. def zeroMean(dataMat):        
3.     meanVal=np.mean(dataMat,axis=0)     #按列求均值，即求各个特征的均值  
4.     newData=dataMat-meanVal  
5.     return newData,meanVal  
6.   
7. def pca(dataMat,n):  
8.     newData,meanVal=zeroMean(dataMat)  
9.     covMat=np.cov(newData,rowvar=0)    #求协方差矩阵,return ndarray；若rowvar非0，一列代表一个样本，为0，一行代表一个样本  
10.       
11.     eigVals,eigVects=np.linalg.eig(np.mat(covMat))#求特征值和特征向量,特征向量是按列放的，即一列代表一个特征向量  
12.     eigValIndice=np.argsort(eigVals)            #对特征值从小到大排序  
13.     n_eigValIndice=eigValIndice[-1:-(n+1):-1]   #最大的n个特征值的下标  
14.     n_eigVect=eigVects[:,n_eigValIndice]        #最大的n个特征值对应的特征向量  
15.     lowDDataMat=newData*n_eigVect               #低维特征空间的数据  
16.     reconMat=(lowDDataMat*n_eigVect.T)+meanVal  #重构数据  
17.     return lowDDataMat,reconMat  

3、选择主成分个数

文章写到这里还没有完，应用PCA的时候，对于一个1000维的数据，我们怎么知道要降到几维的数据才是合理的？即n要取多少，才能保留最多信息同时去除最多的噪声？一般，我们是通过方差百分比来确定n的，这一点在Ufldl教程中说得很清楚，并且有一条简单的公式，下面是该公式的截图：

根据这条公式，可以写个函数，函数传入的参数是百分比percentage和特征值向量，然后根据percentage确定n，代码如下：

[python] view plain copy

1. def percentage2n(eigVals,percentage):  
2.     sortArray=np.sort(eigVals)   #升序  
3.     sortArray=sortArray[-1::-1]  #逆转，即降序  
4.     arraySum=sum(sortArray)  
5.     tmpSum=0  
6.     num=0  
7.     for i in sortArray:  
8.         tmpSum+=i  
9.         num+=1  
10.         if tmpSum>=arraySum*percentage:  
11.             return num  

那么pca函数也可以重写成百分比版本，默认百分比99%。

[python] view plain copy

1. def pca(dataMat,percentage=0.99):  
2.     newData,meanVal=zeroMean(dataMat)  
3.     covMat=np.cov(newData,rowvar=0)    #求协方差矩阵,return ndarray；若rowvar非0，一列代表一个样本，为0，一行代表一个样本  
4.     eigVals,eigVects=np.linalg.eig(np.mat(covMat))#求特征值和特征向量,特征向量是按列放的，即一列代表一个特征向量  
5.     n=percentage2n(eigVals,percentage)                 #要达到percent的方差百分比，需要前n个特征向量  
6.     eigValIndice=np.argsort(eigVals)            #对特征值从小到大排序  
7.     n_eigValIndice=eigValIndice[-1:-(n+1):-1]   #最大的n个特征值的下标  
8.     n_eigVect=eigVects[:,n_eigValIndice]        #最大的n个特征值对应的特征向量  
9.     lowDDataMat=newData*n_eigVect               #低维特征空间的数据  
10.     reconMat=(lowDDataMat*n_eigVect.T)+meanVal  #重构数据  
11.     return lowDDataMat,reconMat