超分辨率重建——先验信息，先验概率，后验概率，最大后验概率

读超分辨率重建的文章，特别是一开始读一些基础的差值的方法的文章时，经常提到的一个概念就没有运用到图像的先验信息。

所谓的先验信息可以理解为在实验之前，已经得到的一些信息，即先验信息。对于图像，它可能存在着一些梯度方面的特征，符合某些统计规律，那么这些信息就可以用到实验中去。而这些我们已经知道的图像的一些特性就是图像的先验信息。

先验概率：基于某一事实得到的概率，比如昨天有500万人买彩票了，有10个人中了奖，那么10/500万就是昨天的彩票的中奖率。

然后后验概率，问，已经知道昨天的中奖率了，那么今天的中奖率是多少呢？那么这种事情B在事情A已经发生的情况下，发生的概率，就可以称为后验概率。

习惯性拿来度娘上的一个栗子：

假设一个学校里有60%男生和40%女生。女生穿裤子的人数和穿裙子的人数相等，所有男生穿裤子。一个人在远处随机看到了一个穿裤子的学生。那么这个学生是女生的概率是多少？

使用贝叶斯定理，事件A是看到女生，事件B是看到一个穿裤子的学生。我们所要计算的是P(A|B)。

P(A)是忽略其它因素，看到女生的概率，在这里是40%

P(A')是忽略其它因素，看到不是女生（即看到男生）的概率，在这里是60%

P(B|A)是女生穿裤子的概率，在这里是50%

P(B|A')是男生穿裤子的概率，在这里是100%

P(B)是忽略其它因素，学生穿裤子的概率，P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')，在这里是0.5×0.4 + 1×0.6 = 0.8.

根据贝叶斯定理，我们计算出后验概率P(A|B)

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)=0.25

可见，后验概率实际上就是条件概率。

用P(h)表示在没有训练数据前假设h拥有的初始概率。P(h)被称为h的先验概率。先验概率反映了关于h是一正确假设的机会的背景知识如果没有这一先验知识，可以简单地将每一候选假设赋予相同的先验概率。类似地，P(D)表示训练数据D的先验概率，P(D|h)表示假设h成立时D的概率。机器学习中，我们关心的是P(h|D)，即给定D时h的成立的概率，称为h的后验概率。

贝叶斯公式

贝叶斯公式提供了从先验概率P(h)、P(D)和P(D|h)计算后验概率P(h|D)的方法  
p(h|D)=P(D|H)*P(H)/P(D)  
P(h|D)随着P(h)和P(D|h)的增长而增长，随着P(D)的增长而减少，即如果D独立于h时被观察到的可能性越大，那么D对h的支持度越小。

在候选假设集合H中寻找给定数据D时可能性最大的假设h，h被称为极大后验假设（MAP）确定MAP的方法是用贝叶斯公式计算每个候选假设的后验概率，计算式如下:  
h_map=argmax P(h|D)=argmax (P(D|h)*P(h))/P(D)=argmax P(D|h)*p(h) (h属于集合H)  
最后一步，去掉了P(D)，因为它是不依赖于h的常量。

在某些情况下，可假定H中每个假设有相同的先验概率，这样式子可以进一步简化，只需考虑P(D|h)来寻找极大可能假设。  
h_ml = argmax p(D|h)  h属于集合H  
P(D|h)常被称为给定h时数据D的似然度，而使P(D|h)最大的假设被称为极大似然假设。

栗子

举例  
考虑一个医疗诊断问题，有两种可能的假设：（1）病人有癌症。（2）病人无癌症。样本数据来自某化验测试，它也有两种可能的结果：阳性和阴性。假设我们已经有先验知识：在所有人口中只有0.008的人患病。此外，化验测试对有病的患者有98%的可能返回阳性结果，对无病患者有97%的可能返回阴性结果。  
上面的数据可以用以下概率式子表示：  
P(cancer)=0.008,P(无cancer)=0.992  
P(阳性|cancer)=0.98,P(阴性|cancer)=0.02  
P(阳性|无cancer)=0.03，P(阴性|无cancer)=0.97  
假设现在有一个新病人，化验测试返回阳性，是否将病人断定为有癌症呢？我们可以来计算极大后验假设：  
P(阳性|cancer)p(cancer)=0.98*0.008 = 0.0078  
P(阳性|无cancer)*p(无cancer)=0.03*0.992 = 0.0298  
因此，应该判断为无癌症。  
确切的后验概率可将上面的结果归一化以使它们的和为1： P(canner|+)=0.0078/(0.0078+0.0298)=0.21 P(cancer|-)=0.79  
贝叶斯推理的结果很大程度上依赖于先验概率，另外不是完全接受或拒绝假设，只是在观察到较多的数据后增大或减小了假设的可能性。  
贝叶斯分类具有如下特点：  
(1)贝叶斯分类并不把一个对象绝对地指派给某一类，而是通过计算得出属于某一类的概率，具有最大概率的类便是该对象所属的类；  
(2)一般情况下在贝叶斯分类中所有的属性都潜在地起作用，即并不是一个或几个属性决定分类，而是所有的属性都参与分类；  
(3) 贝叶斯分类对象的属性可以是离散的、连续的，也可以是混合的。  
贝叶斯定理给出了最小化误差的最优解决方法，可用于分类和预测。理论上，它看起来很完美，但在实际中，它并不能直接利用，它需要知道证据的确切分布概率，而实际上我们并不能确切的给出证据的分布概率。因此我们在很多分类方法中都会作出某种假设以逼近贝叶斯定理的要求。