bzoj 3112 从 线性规划 到 网络流 浙江oi2013 战线防守

线性规划约束条件中如果每个变量在且只在两个约束条件中出现，并且系数为+1、-1，则可构造出网络流模型。

题意：战线看作长度为n的序列，现在需要在这个序列上建塔，在i号位置上建一座塔有ci花费。有m限制，每个限制形如区间[li,ri]中至少有di个塔。求最小花费。

内容太长，先说网络流建图方法：
先搞s、t，再加n+2个结点(为了方便，前后各加一个)，i向i+1连边，容量无穷，费用0；
对于题目中给出的m个限制，li−1向ri连边，容量无穷，费用di;
s向i连容量为ci+1的边，费用0；i向t连容量为ci的边，费用0；
跑最大费用最大流

思路：
设si为前i个位置塔的数量。
可以得到：

目标函数(最小化)：

∑i=1n(si−si−1)∗ci

约束条件：

sri−sli−1≥di

si−si−1≥0

si≥0

到这里，单纯形已经可搞啦！

注意到每个约束条件只有两个变量出现，并且是+1和-1，单纯形直接忽略了这个特性。
为了构造网络流模型，要先对原问题求对偶：
设pri,li−1表示第一个约束条件对应的变量，qi,i−1表示第二个约束条件对应的变量。
得到：

目标函数（最大化）

∑i=1npri,li−1∗di

约束条件

qi,i−1−qi+1,i+∑jpi,j−∑jpj,i≤ci−ci+1

q,p≥0

将等式看作点，将变量看作边。由于每个变量只在两个等式出现，一正一负，恰好表示流入和流出。

把约束条件表示成松弛形式

qi,i−1−qi+1,i+∑jpi,j−∑jpj,i−ci+ci+1−ai=0

上面这个等式，表示的是结点i，一次考虑每个变量来建边。
考虑q：i-1向i连边，费用0，容量无穷。
考虑p：对于每个题目给出的ri,li,di，li−1向ri连边，费用di，容量无穷。
考虑常数c：i向t连边，费用0，容量ci并且设定流量下界ci；s向i连边，费用0，容量ci+1并且设定流量下界ci+1
考虑a：i向t连边，费用0，容量无穷。

显然答案会在最大流时取到。
于是就可以用带上下界的 最大费用最大流求解了！

但是建图可以更优。
对于对偶后得到的约束条件，如果把他们左边右边全部叠加起来，会得到0≤0。这说明为了满足约束条件，所有“≤”必须取等号。即，在松弛形式中的a，始终等于0。所以关于a的边是没有必要的。

对于常数c，对应的边都是连向s和t的。s的所有出边的容量和为∑ci，t的所有入边也是∑ci，只要该问题有解（肯定有解），最大流时就一定满足下界的限制。所以下界可以去掉。
于是就可以用最大费用最大流求解啦！