字符串算法：KMP算法和AC自动机

KMP算法

基本实现步骤

给定字符串M和N（M比N长），找出N在M中出现的匹配位置。说白了，就是一个简单的字符串匹配。

例如：

首先，字符串”BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”的第一个字符与搜索词”ABCDABD”的第一个字符进行比较。因为B与A不匹配，所以搜索词后移一位。

因为B与A不匹配，搜索词再往后移。

就这样，直到字符串有一个字符，与搜索词的第一个字符相同为止。

接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是相同。

直到字符串有一个字符，与搜索词对应的字符不相同为止。

这时，最自然的反应是，将搜索词整个后移一位，再从头逐个比较。这样做虽然可行，但是效率很差，因为你要把”搜索位置”移到已经比较过的位置，重比一遍。

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事实上，当空格与D不匹配时，你其实知道前面六个字符是”ABCDAB”。KMP算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把”搜索位置”移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。
怎么做到这一点呢？可以针对搜索词（模式串），算出一张《部分匹配表》（Partial Match Table）。这张表的计算后面再介绍，这里先学会使用：

当我们匹配第7个字符D时，发现不匹配，事实上，前面6个字符都是成功匹配了的。查表可知，最后一个匹配字符B对应的”部分匹配值”为2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数：

移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值

因为 6 - 2 等于4，所以将搜索词向后移动4位。

进一步举例

因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为2（"AB"），最后一个匹配字符B对应的”部分匹配值”为0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索词向后移2位。

因为空格与A不匹配，继续后移一位。

逐位比较，直到发现C与D不匹配。于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索词向后移动4位。

逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动7位，这里就不再重复了。

下面介绍部分匹配表是如何产生的。

部分匹配表

概念

首先，要了解两个概念：”前缀”和”后缀”。 “前缀”指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；”后缀”指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。
“部分匹配值”就是”前缀”和”后缀”的最长公共子串的长度。以”ABCDABD”为例，

“A”的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0； “AB”的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为0； “ABC”的前缀为[A,
AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度0； “ABCD”的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD,
D]，共有元素的长度为0； “ABCDA”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA,
A]，共有元素为”A”，长度为1； “ABCDAB”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB,
CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为”AB”，长度为2； “ABCDABD”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD,
ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的长度为0。

“部分匹配”的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，”ABCDAB”之中有两个”AB”，那么它的”部分匹配值”就是2（”AB”的长度）。搜索词移动的时候，第一个”AB”向后移动4位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个”AB”的位置。

代码实现

建立部分匹配表的核心内容就是根据待匹配的模板字符串求出对应每一位的最大相同前后缀的长度。

void makeNext(string P,vector<int> &next){    int q,k;    int m = P.size();    next[0] = 0;    for (q = 1, k = 0;q < m;q++) {        while(k > 0 && P[q] != P[k])            k = next[k-1];        if (P[q] == P[k]) {            k++;        }        next[q] = k;    }}

while循环所做的工作：
已知前一步计算时最大相同的前后缀长度为k（k>0），即P[0]···P[k-1]；

此时比较第k项P[k]与P[q]，如果P[k]等于P[q]，那么很简单跳出while循环；如果不等呢？那么我们应该利用已经得到的next[0]···next[k-1]来求P[0]···P[k-1]这个子串中最大相同前后缀。
为什么要求P[0]···P[k-1]的最大相同前后缀呢？原因在于P[k]已经和P[q]失配了，而且P[q-k] ··· P[q-1]又与P[0] ···P[k-1]相同，看来P[0]···P[k-1]这么长的子串是用不了了，那么我要找个同样也是P[0]打头、P[k-1]结尾的子串即P[0]···P[j-1](j==next[k-1])，看看它的下一项P[j]是否能和P[q]匹配。

完整代码实现

void makeNext(string P,vector<int> &next) {    int q,k;    int m = P.size();    next[0] = 0;    for (q = 1, k = 0;q < m;q++) {        while(k > 0 && P[q] != P[k])            k = next[k-1];        if (P[q] == P[k]) {            k++;        }        next[q] = k;    }}int kmp(string T,string P,vector<int> &next) {    int n=T.size();    int m=P.size();    int i,q;    int ans=0;    for (i = 0,q = 0;i < n;i++) {        while(q > 0 && P[q] != T[i])             q = next[q-1];        if (P[q] == T[i]) //如果当前字符匹配成功，q后移一位            q++;        if (q == m) //如果已经成功匹配一次            ans++;    }    return ans;}int main() {    int N;    string mo,str;    cin>>N;      while(N--) {          cin>>mo>>str;        vector<int> next(mo.size(),0);        makeNext(mo,next);//构建部分匹配表        cout<<kmp(str,mo,next)<<endl;//输出总的匹配个数    }      return 0;  }  

AC自动机

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