证明$r(A^TA) = r(A)$

首先需要明确，这个证明的切入点是：方程组的解包含与被包含的挂关系。

1）证明r(ATA)≤r(A)

当AX=0时，ATAX=0必然成立，即：ATAX=0的解，包含了AX=0的解，就说明了ATAX=0的基础解系包含AX=0的基础解系。

因此：n−r(ATA)≥n−r(A),即：r(ATA)≤r(A)

这个也可以直接运用r(AB)≤min(r(A),r(B))直接得到。

这个证明运用了行秩和列秩的两个角度，并运用线性表出与秩的大小比较的思路，证明过程值得思考。

2）证明r(ATA)≥r(A)

由ATAX=0,可以得到的是：XTATAX=0,变换得到：(AX)TAX=0,可见向量AX = 0。
如果更细致的考虑，则不妨令AX=[b1,b2,...,bn]T,则(AX)TAX=∑ni=1(bi)2=0→bi=0;i=1,2,3,..,n

所以AX = 0成立。这样可以从与1）相反的角度说，ATAX=0的解包含于AX=0之中。因此：n−r(ATA)≤n−r(A)→r(A)≤r(ATA)

综合1）2）可得，r(ATA)=r(A).