Dynamic Programming（动态规划）类问题记录-（1 子序列）

动态规划

关于动态规划，先摘一段wiki的描述：

动态规划（英语：Dynamic programming，简称DP）是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。动态规划背后的基本思想非常简单。大致上，若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再合并子问题的解以得出原问题的解。通常许多子问题非常相似，为此动态规划法试图仅仅解决每个子问题一次，从而减少计算量：一旦某个给定子问题的解已经算出，则将其记忆化（en:memoization）存储，以便下次需要同一个子问题解之时直接查表。这种做法在重复子问题的数目关于输入的规模呈指数增长时特别有用。

正如上面wiki的引文所属，当遇到重叠子问题和最优子结构性质的问题是，如果正向去考虑这个问题的解法，就会陷入麻烦，通过枚举所有可能去解决这类问题，至少会面对几个挑战
- 枚举所有可能会导致算法消耗大量存储空间
- 对所有这些可能对进行去重比较苦难，特别是用代码来表达时候，往往很难入手

动态规划可类比数学上的归纳法，其实就是从1推导到n，是从下到上的推导过程。解决这类问题的主要是设计一个思路，把问题用n->n+1的模式进行表述（也就是寻找状态转换方程），由于问题是从小规模到大规模进行推导，所以“去重”和“最优子结构”的表述也就简单了。当然，动态规划问题往往不是从n直接推导n+1的情况，多需要考虑从n-k到n的情况（0<=k<=n)，我们可以考虑称之为k阶问题。

子序列问题

给定一个数组，求这个数组中和最大的子序列的和，要求这些元素彼此不相邻。

这几乎是最简单的动态规划问题了，正向表达的话，不相邻的限制就非常难以表达。转化成动态规划只需要简单转化一下:

• 假设对于一个长度为n的数组arr[0,…,n-1]，最小子序列的值可以记为一个数组dp[n],每个元素分别表示长度为n的数组的最大子序列的和（显然dp[n-1]显然不会含有元素arr[n-1]）。
• 那么接下来考虑加入一个元素arr[n]的情况，这个时候最大子序列表达式可以记为 dp[n]=max(dp[n-2]+arr[n], dp[n-1])（这里的表达方法显然简化了不相邻这个限制的表达方式）

代码如下（python）

#!/usr/bin/env python# -*- coding: utf-8 -*-def maxval(arr):    length=len(arr)    if length==0:        return 0    # 初始化，简单描述数组长度为1的情况    dp=[0 for _ in xrange(length+1)]    dp[1]=max(arr[0], dp[0])    # 计算剩余情况    for i in range(2, length+1):        dp[i]=max(dp[i-2]+arr[i-1], dp[i-1])    return dp[length]

算法复杂度为O(n)，空间复杂度O(n)。

延伸一下

如果最后结果不仅仅需要记录最大值，还需要记录最大值情况下所有选中的子序列，则在每一步推导的时候根据比较结果，将值引入即可。

#!/usr/bin/env python# -*- coding: utf-8 -*-def maxval(arr):    length=len(arr)    if length==0:        return 0    # 初始化，简单描述数组长度为1的情况    dp=[0 for _ in xrange(length+1)]    selections=[[] for _ in xrange(length+1)]    dp[1]=max(arr[0], dp[0])    if arr[0]>0:        selections[1].append(0)    # 计算剩余情况    for i in range(2, length+1):        dp[i]=max(dp[i-2]+arr[i-1], dp[i-1])        print selections        if (dp[i-2]+arr[i-1])>dp[i-1]:            selections[i]=list(selections[i-2])            selections[i].append(i-1)        else:            selections[i]=list(selections[i-1])    return dp[length], selections[length]

简化一下

由于这是一个2阶问题，所以只需要保存dp[n]和dp[n-1]的情况，因此其实空间复杂度可以进一步降低。比如用dp[0]代表数组长度为偶数的情况，dp1代表长度为奇数的情况，这个时候空间复杂度为O(c)，对于大规模的问题比较好。

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