技巧与错误

1. 错误：

    10.30，模拟考试第二题，对于题目中可走的边的定义：u-v可走当且仅当存在一条从v出发的路其路程小于从u出发的到终点的所有的路，题目要求求满足这样的条件的路（起点，终点固定）的方案数，理解成了求最短路的条数，惨死……

2.错误：

    10.30，模拟考试第三题，在判断列上面是否已经不满足条件的时候，在当前列上的最后一堆数的判断过程中，下意识地把程序代入到自己设想中的情况里，以为当前的最后一堆数也是标准要求的最后一堆数，（即，把自己当前所想的特殊情况混淆到程序中，忽略了现实与想象的严格区别）。

3.技巧 图论

    对于存在一个环的图（多个环的没有试过），随机取出一条环上的边的方法：参照最小生成树中克鲁斯卡尔算法的思想，每次用最小的代价将两个已经生成好的小的最小生成树连接起来，那么我们在读入这个图的时候，就可以每次取出这一条边的u和v，如果发现他们的老爸不相同，那么说明他们原本并不连通，正常连接即可，如果发现他们的老爸相同，那么说明他们已经连通，则不连这一条边，标记出这一条边即可。

4.技巧 图论

    对于一个图，多次询问任意两个点之间的距离，如果其点数与边数都比较小，比如说都在1000-2000之内，那么直接暴力处理从每个点出发到每个点的最短路就OK。

    如果数据规模较大，比如说达到了100000，但是给出的图是一棵树，那么使用LCA求两点间的距离即可（LCA偏好使用树链剖分）。

    如果数据规模与特征与上面几乎一样，但是多了一条边，也就是说多了一个环，那么（别以为做一遍最小生成树就OK了，行不通）对于两个点，我们需要分类讨论，那就是在遇到了我们所找到的那个环的时候，看看是顺时针走还是逆时针走，这样想来我们需要DFS去找环，还有一些其他的麻烦的东西，实在麻烦，一个简单的实现方法就是，我们采用3里面提到的技巧，在建图的时候，把环上的一条边找到，记录下他的u,v,value,并且断掉他，那么我们就生成了一个去掉任意一条环上的边的树，在接受询问x,y的距离的时候，我们设它们的最近公共祖先为fa，则一个候选答案就是dis.u+dis.v-2*dis.fa，也就是正常的LCA求距离，相当于我们求了环上的其中一种方向，我们记这样的一个过程为f.x.y,那么对于另外一种方向的距离，就是f.x.u+f.y.v+value或者f.x.v+f.y.u+value，（有可能有交叉，你并不知道它们的顺序是什么），最后取三种答案的最小值就可以了。

5.技巧 数论

    欧拉定理，(a^phi(p))%p=1，当p为质数的时候phi(p)=p-1;

    应用：

        (1) 求乘法逆元，当我们需要求(x/a)%p的时候，是不能直接取模的，这就需要用到a的乘法逆元，也叫作a对于p的数论倒数，我们记为y，y满足（x*y）%p=（x/a）%p，那么y应该怎么求呢？结论是，若(a*y)%p=1,那么y就是a关于p的乘法逆元(a需要与p互质)，这里我们考虑p是质数的情况，根据欧拉定理我们已知(a^phi(p))%p=1,以为p为质数，所以(a^(p-1))%p=1,所以y可以等于a^(p-2),我们的出结论，当p为质数且a,p互质时，a关于p的乘法逆元可以为a^(p-2)。

        (2)质数检测，根据欧拉定理，我们知道，若p为质数，则(a^(p-1))%p=1,这个命题显然不是充要的，但是要满足这个命题的非质数的情况还是几率不太大的，所以我们可以多使用几个数来检测，多次筛选，如果我们这些数的测试都过了的话，才概率地确定它是一个质数。

        (3)对快速幂的取模，如果我们遇到形如2^(99999^(99999^(99999^(99999^99999))))%p一类的问题，我相信你不敢大胆地直接把指数%p的，那么，根据欧拉定理，(a^(phi(p)))%p==1，我们可以把phi(p)作为周期，因为每到phi(p)，Power下来就变成了1，所以我们只需要将指数对phi(p)取余，把取余出来的数作为指数就可以了，由于a^0=1，所以当指数为phi(p)的倍数的时候，取余下来正好为0，得到结果1。

6.技巧 数论

    欧拉函数，phi(p)表示小于p的数中与p互质的数，注意1也算。

    性质：

        (1)显然，若p为质数，则phi(p)==p-1;

        (2)若a，b互质，则phi(a*b)==phi(a)*phi(b);

        (3)若p为质数，k为正整数，则phi(p^k)==(p-1)*p^(k-1),为什么满足这个式子呢？这是因为求欧拉函数的公式为phi(n)==n*((p1-1)/p1)*((p2-1)/p2)*((p3-1)/p3)……其中pi为n的质因数且pi互不相同，有了这样一个公式，我们可以理解，因为phi(p)=p-1,那么p*p并不改变它的质因子种数，只是扩大了前面的n而已。

    求法：

        (1)若我们需要求1-n的所有欧拉函数，那么我们可以结合欧拉筛，代码如下：

void Get(){        bool visit[n]={0};        int prime[maxn]={0},phi[n]={0};        for(int i=2;i<=n;i++)        {            if(!visit[i]){prime[++prime[0]]=i;phi[i]=i-1;}            for(int j=prime[0];i*prime[j]<=maxn;j++)            {                visit[i*prime[j]]=1;                if(i%prime[j]==0)                {                   phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];                   break;                }                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);            }        }}

这个算法的时间复杂度是O（n）的，已经是最优复杂度了。

        (2)当我们只需要求一个数的欧拉函数的时候，我们就可以采用性质里面提到的公式，利用根号n(实际上不到)的时间对所求数分解质因数，然后直接计算就可以了，代码如下：

int Get(){         int ans=n;         for(int i=2;i*i<=n;i++)         {              if(n%i==0)             {               ans=ans-ans/i;               while(n%i==0)n/=i;             }         }

         if(n>1)ans=ans-ans/n;         return ans;}