技巧与错误（2）

7.技巧 数论

    (1)基础知识，求两个数的最大公因数，一般使用经典的欧几里得算法，即用gcd(a,b)表示a,b的最大公因数，显然，当b==0时，返回a，否则返回gcd(b,a%b)，也就是说gcd(a,b)==gcd(b,a%b),证明如下，为了证明两个数相等，由于两个数都是非负整数，所以我们只需要证明两个数能够互相整除就可以了：

    对于gcd(a,b)=c,因为c|a，且c|b,所以对于gcd(b,a%b),因为c|b,a%b=a/b*b,所以c|a%b,由于c|b，且c|a%b,所以gcd(a,b)一定整除gcd(b,a%b);

    同理，对于gcd(b,a%b)=d，因为d|b且d|a%b,a=a/b*b+a%b,所以d|a,所以gcd(b,a%b)一定整除gcd(a,b);

    证毕，代码如下：

int gcd(int a,int b){if(!b)return a;return gcd(b,a%b);}

    (2)如果遇到了一些讨厌的需要高精度gcd的题，那么我们可以使用针对大整数实现的二进制算法，思路如下：

    对于函数gcd(a,b)表示a,b,两个数的最大公因数；

    若a==b，则返回a(显然)。

    若a%2==0&&b%2==0，则返回2*gcd(a/2,b/2)(显然)；

    若a%2==0&&b%2!=0，则返回gcd(a/2,b)(显然)；

    若a%2!=0&&b%2!=0,则返回gcd(a-b,b)(容易证明，设t为gcd(a,b),则a=xt,b=yt,那么a-b=(x-y)*t,b=yt,因为x与y互质,所以不存在一个数c|y&&c|(x-y),所以gcd(a-b,b)=t)；

    (3)若是求n个数的最大公因数?把第一个和第二个数合并为它们的gcd之后重复这个过程直到只剩下一个数就行。

    (4)gcd(n-p,n)<=p，证明如下：

    设gcd(n-p,n)=x,则n-p=ax,n=bx，两式相减，则p=(b-a)x,因为b>=a，所以p>=x,得证。

8.技巧 数论

    基础知识，对于两个数a,b我们将其分解质因数，则：

    a=p1^a1 * p2^a2 * ……pn^an;

    b=p1^b1 * p2^b2 * ……pm^bm;

    实际上我们所取的最大公因数就是p1^min(a1,b1) * p2^min(a2,b2)……相对的，最小公倍数就是把min改为max,显然，a*b/gcd(a,b)=lcm(a,b)；

9.技巧 数论

    基础，拓展欧几里得算法，主要应用于求解形如ax+by=c的不定方程和形如(ax)%b=c的同余方程，二者实质是相同的，因为(ax)%b=c可以表示为ax=by+c，即ax+by=c；

    (1)算法思路如下：

    对于不定方程ax+by=c，设gcd(a,b)=d,首先我们判断此方程有无解的依据就是，d能否整除c，由于x,y均为整数，所以方程左边一定是d的倍数，若右边c不是d的倍数，那么显然无解，根据这个，对于上述方程，我们就可以将其转化为ax+by=d,最后对于求出来的答案乘一个c/d就行了。

    了解了上面那一点之后，我们设函数ex_gcd(a,b)表示求a,b的最大公因数并求出ax+by=d (d=gcd(a,b)) 的一组解x,y，算法思路如下：

    对于ex_gcd(a,b),当b==0时，显然d=a，有一组解为x=1,y=0；

    若b!=0，先求ex_gcd(b,a%b),则我们得到了bx1+(a%b)y1=d的一组解，因为a%b==a-a/b*b,所以，bx1+ay1-a/b*b*y1=d,整理得到ay1+b(x1-a/b*y1)=d，所以ex_gcd(a,b)的一组解就是x=y1,y=x1-a/b*y1，代码如下：

void ex_gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){if(!b){d=a; x=1; y=0; return;}int t;ex_gcd(b,a%b,d,x,y);t=x; x=y; y=t-a/b*y;}

    (2)对于方程ax+by=c的通解与最小正整数解，解决思路如下：

    设ax1+by1=c;

        ax2+by2=c;

        两式相减，得到a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,同除d=gcd(a,b),则(a/d)(x1-x2)+(b/d)(y1-y2)=0,所以x1=(b/d)(y2-y1)/(a/d)+x2，得到x1=x2+k*(b/d)  （k为整数）.

        相对应的，y1=y2-k*(a/d),那么其最小正整数解x=(x1%(b/d)+(b/d))%(b/d)。

    (3)对于形如

    x%p1=b1;

    x%p2=b2;

    x%p3=b3;

    …………的方程的解法，我们首先先着眼于只有两个方程的情况，由于x=py+b1,x+py=b1,所以

    x1+p1y1=b1;

    x2+p2y2=b2;

    显然，当b1-p1y1=b2-p2y2的时候，x1与x2相等，所以我们只需要求出p1y1-p2y2=b1-b2的一组解，就可以求出相对应的那一个x1=b1-p1y1，那么两个方程就可以合并成一个新的方程x%lcd(p1,p2)=x1,重复这个过程就OK。

10.技巧 数论

    (1)对于一个数a，若将其分解质因素，则a=p1^a1 * p2^a2 * ……pn^an，那么它的因数个数s=(a1+1)*(a2+1)……(an+1);

    (2)所有因数的和为sum=[(p1^(a1+1)-1)/(p1-1)]*[(p2^(a2+1)-1)/(p2-1)]*……[(pn^(an+1)-1)/(pn-1)]。

    (3)求n!中质因子p的个数，代码如下：

int f(int n,int p){if(!n)return 0;return f(n/p,p)+n/p;}

    应用于求组合数的时候，分别对分子分母进行约分就可以使用这种方法；问n!末尾有多少个0？明显其答案为min(f(n,2),f(n,5)),即f(n,5),若是在十二进制下呢？因为12=2*2*3,所以明显是min(f(n,2)/2,f(n,3));