莫比乌斯反演

转自：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8542292

莫比乌斯反演在数论中占有重要的地位，许多情况下能大大简化运算。那么我们先来认识莫比乌斯反演公式。

 

定理：和是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件，那么我们得到结论

 

     

 

在上面的公式中有一个函数，它的定义如下：

 

    （1）若，那么

    （2）若，均为互异素数，那么

    （3）其它情况下

 

 

对于函数，它有如下的常见性质：

 

    （1）对任意正整数有

  

                           

 

        （2）对任意正整数有

 

        

 

线性筛选求莫比乌斯反演函数代码。

void Init(){    memset(vis,0,sizeof(vis));    mu[1] = 1;    cnt = 0;    for(int i=2; i<N; i++)    {        if(!vis[i])        {            prime[cnt++] = i;            mu[i] = -1;        }        for(int j=0; j<cnt&&i*prime[j]<N; j++)        {            vis[i*prime[j]] = 1;            if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]] = -mu[i];            else            {                mu[i*prime[j]] = 0;                break;            }        }    }}