[JZOJ4837]I Liked Matrix!

题目大意

在一个n×m的矩阵里面所有位置随机填入0或1，概率比为x:y。令Bi=∑mj=1Ai,j，求min{Bi}期望，并将期望乘以(x+y)nm后对109+7取模。
（其实就是把每个位置x+y种情况暴力填然后对min{Bi}求和）。

n,m,x,y≤2×105

---

题目分析

naive的70分做法

令fi表示m个数（一行）和为i的方案数。显然

fi=(mi)xm−iyi

令gi表示m个数（一行）和大于等于i的方案数。
考虑枚举最大值是多少，多少个B是等于这个最大值，那么答案显然为

∑i=0m∑j=1n(nj)fjign−ji+1i

这样做是O(n2)的。

100分做法

上面的方法太弱逊水了。
考虑容斥原理。
最小值为w的方案数为gnw−gnw+1。
于是就可以愉快地统计答案了：

∑i=0m(gni−gni+1)i

这样做是O(n)的。

---

代码实现

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;const int P=1000000007;const int N=200500;int fact[N],invf[N],F[N],G[N],xp[N],yp[N],Gp[N];int n,m,X,Y,ans;int quick_power(int x,int y){    int ret=1;    for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P) if (y&1) ret=1ll*ret*x%P;    return ret;}void pre(){    int l=max(n,m);    fact[0]=1;    for (int i=1;i<=l;i++) fact[i]=1ll*fact[i-1]*i%P;    invf[l]=quick_power(fact[l],P-2);    for (int i=l;i>=1;i--) invf[i-1]=1ll*invf[i]*i%P;    xp[0]=yp[0]=1;    for (int i=1;i<=m;i++) xp[i]=1ll*xp[i-1]*X%P,yp[i]=1ll*yp[i-1]*Y%P;}inline int C(int n,int m){return 1ll*fact[n]*invf[m]%P*invf[n-m]%P;}void calc(){    for (int i=0;i<=m;i++) F[i]=1ll*C(m,i)*xp[m-i]%P*yp[i]%P;    G[m+1]=0;    for (int i=m;i>=0;i--) G[i]=(G[i+1]+F[i])%P;    ans=0;    for (int i=0;i<=m;i++) Gp[i]=quick_power(G[i],n);    for (int i=1;i<=m;i++) (ans+=1ll*(((Gp[i]-Gp[i+1])%P+P)%P)*i%P)%=P;}int main(){    freopen("past.in","r",stdin),freopen("past.out","w",stdout);    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&X,&Y);    pre(),calc();    printf("%d\n",ans);    fclose(stdin),fclose(stdout);}