LeetCode #343 - Integer Break - Medium

Problem

Given a positive integer n, break it into the sum of at least two positive integers and maximize the product of those integers. Return the maximum product you can get.Note: You may assume that n is not less than 2 and not larger than 58.

Hint:

• There is a simple O(n) solution to this problem.
• You may check the breaking results of n ranging from 7 to 10 to discover the regularities.

Example

given n = 2, return 1 (2 = 1 + 1); given n = 10, return 36 (10 = 3 + 3 + 4).

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Algorithm

整理一下题意：给定一个整数n，将n分成至少两个正整数的和，将分成的整数乘起来得到一个积，要求返回积的最大值。假设2<=n<=58。

其实没有明确的思路，所以先尝试枚举。

n 最大拆分 最大乘积 2 1+1 1 3 1+2 2 4 2+2 4 5 2+3 6 6 3+3 9 7 3+4 12 8 3+3+2 18 9 3+3+3 27

由上表猜测，最大拆分中需要尽可能多的3。以此为思路，对于n的最大积，通过n每次减3和积每次乘3得到。代码如下。

//时间复杂度O(n)class Solution {public:    int integerBreak(int n) {        if(n==2) return 1;        if(n==3) return 2;        if(n==4) return 4;        int max=1;        while(n>4){            max*=3;            n-=3;        }        return max*n;    }};

完成题目后提交，很幸运通过了。但对于其数学原理还是不明白，于是在网上查找资料，发现 @liyuanbhu 老师的博客里有简单的数学证明。下面将这段证明引用如下。感谢 @liyuanbhu 老师的工作!

原文地址：http://blog.csdn.net/liyuanbhu/article/details/51198124
作者：@liyuanbhu

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首先证明拆出的因子大于 4 是不行的。设 x 是一个因子，x>4，那么可以将这个因子再拆成两个因子 x−2 和 2，易证 (x−2)×2>x。所以不能有大于 4 的因子。

4 这个因子也是可有可无的，4=2+2，4=2×2。因此 4 这个因子可以用两个 2 代替。

除非没有别的因子可用，1 也不能选作因子。一个数 x 当它大于 3 时，有 (x−2)×2>(x−1)×1。

这样呢，就只剩下 2 和 3 这两个因子可以选了。下面再证明 3 比 2 好。

一个数 x=3m+2n，那么 f=3m×2n=3m×2x−3m2 可以对它取个对数。

lnf===mln3+nln2mln3+x−3m2ln2x2ln2+(ln3−32ln2)m
其中 ln3−32ln2>0 所以 f 是 m 的增函数，也就是说 m 越大越好。所以 3 越多越好。

再多说一句，如果拆出的因子不限于整数的话，可以证明e=2.718… 是最佳的选择。