2062 【字典序】【递归】Subset sequence

hdu 2062 Subset sequence

hdu 2062传送门：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2062

   Problem Analyse
 考虑一个集合 An = { 1, 2, ..., n}。比如，A1={1}，A3={1,2,3}。我们称一个非空子集元素的排列为一个子集序列。对所有的子序列按字典顺序排序。你的任务就是给出第m个子序列。

Algorithm Analyse

 首先我们来看看An一共有多少个子集。

n=1时,只有{1}一个子集合

n=2时，就有:
{1}, {2},
{1, 2}, {2, 1}
4个子集合。

n=3时，有
{1}, {2}, {3},
{1, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {2, 3}, {3, 1}, {3, 2},
{1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}

也许你发现规律了。An子集合的个数为:
C¹_n·A¹₁ + C²_n·A²₂ + ... + Cⁿ_n·Aⁿ_n
这个公式是对的。但我们换个角度看。

n=3时，有
{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
{1, 3}
{1, 3, 2}

{2}
{2, 1}
{2, 1, 3}
{2, 3}
{2, 3, 1}

{3}
{3, 1}
{3, 1, 2}
{3, 2}
{3, 2, 1}

不难发现，An可以按首数字分成n组，而每组里除了第一项，剩下的就是An-1的子集合了。
∴f(n) = n[f(n-1) + 1]
f(1) = 1

我们拿测试数据3 10来做个示范，解释一下怎么求解。
因为n=3，所以开始数组里1、2、3三个数。
我们知道，n=2时，有4种排列，所以上面n=3可以分成三组，每组5个(加上空集)。
因此第10个在第二组里。所以第一个是2，把2输出。原来的数组里删除2，变成1、3两个数。然后10 - (2 - 1) * 5 = 5，即它在第2组的第5个。
减去首个空集合，5 - 1 = 4 ≠ 0，表示2后面还有数字。
因为A1 = 1是，所以再第2组里又可以分成两组，每组2个(加上空集)。
所以，4在第2组，剩下的数组中，第二个元素是3，所以输出3。再把数组里的3删除，剩下1一个数。
然后4 - (2 - 1) * 2 = 2，既它是第2组的第2个。
减去首个空集，2 - 1 = 1 ≠ 0，表示2后面还有数字。
按上面的方法继续下去，直到n = 0 或 后面为空集为止。
最后输出数组里的第1个元素，就得到2 3 1，就是解了。

从上面的计算可以看出来，本题目的关键是先求的An中每一组的个数g(n)
不难得出:g(n) = f(n) / n
∵f(n) = n[f(n-1) + 1]
∴g(n) = n[f(n-1) + 1] / n = f(n-1) + 1
∵f(n-1) = (n-1) * g(n-1)
∴g(n) = (n-1) * g(n-1) + 1

1. 
   

   #include <stdio.h>      int main()  {      int i,n,t;//n：一共多少元素<=20。t：所求子集位于分组后的第几组      __int64 m;//位于第几个子集      __int64 c[21]={0};//后面将子集分组后平均每组个数，如:c[2]表示n=2时的分组每组中子集数      int s[21];//后面将子集按字典序分组后每组的初始首元素,组数<=20          for (i=1;i<21;i++)          c[i]=c[i-1]*(i-1)+1;//推导出来的c[n]=(n-1)*c[n-1]+1      while (scanf("%d%I64d",&n,&m)!=EOF)      {          for(i=0;i<21;i++)              s[i]=i;//每循环一次就重新归位每组首元素          while (n>0&&m>0)          {              t=m/c[n]+(m%c[n]>0?1:0);              if(t>0)//得到第m个子集在分组后的第t组,若t>0              {                  printf("%d",s[t]);                  for(i=t;i<=n;i++)                      s[i]=s[i+1];//或s[i]+=1,我们发现:第n组中，第2个元素在第n个时变为它的下一个数                  m-=((t-1)*c[n]+1);//减去(t-1组总子集数+1）,m变为表示在剩余子集中位于第几个                  putchar(m==0?'\n':' ');              }              n--;//依次递减,直到执行上面的if代码或退出          }          }      return 0;  }  

   
   
2. //我的

   /*本题关键就在于判断进行到n的子集的第几环了*/#include<stdio.h>int main(){    int i,n,t,s[21];    __int64 m;    __int64 c[21]={0};    for(i=1;i<21;i++)        c[i]=c[i-1]*(i-1)+1;//由f(n)=(f(n-1)+1)*n推导而来，用来计算f(n)不同首元素下有几组的    while(EOF!=scanf("%d%I64d",&n,&m))    {        for(i=0;i<21;i++)            s[i]=i;//每输出一次之前来重新归位一次        while(n>0&&m>0)        {            t=m/c[n]+(m%c[n]>0?1:0);//第m个子集在分组后第t组            if(t>0)            {                printf("%d",s[t]);                for(i=t;i<=n;i++)                    s[i]=s[i+1];//原来在t位置的被输出过一次，向后顺移一位                m-=((t-1)*c[n]+1);//减去(t-1组总子集数+1(空集)）,m变为表示在剩余子集中位于第几个                putchar(m==0?'\n':' ');            }            n--;        }    }    return 0;}

   
   

   #include<stdio.h>//自己重新打的版本int main(){    int c[21],i,n,t;    __int64 m,s[21]={0};    for(i=1;i<21;i++)        s[i]=(i-1)*s[i-1]+1;    while(EOF!=scanf("%d%I64d",&n,&m))    {        for(i=0;i<21;i++)            c[i]=i;//每次读入一组数据都重置数组                while(m&&n)        {            t=m/s[n]+(m%s[n]>0?1:0);                        if(t>0)//这里的t判断是否大于零不可省,否则会输出0            {                printf("%d",c[t]);                for(i=t;i<=n;i++)                    c[i]=c[i+1];                m-=((t-1)*s[n]+1);                putchar(m==0?'\n':' ');            }            n--;                    }    }    return 0;}

3. #include<stdio.h>//<span style="font-size:14px;color:#FF0000;"><strong>acm第一次网络赛的逆推版本</strong></span><pre name="code" class="objc">int main(){int c[21],i,j,n,x;__int64 m,num,s[21]={0};for(i=1;i<21;i++)s[i]=(i-1)*s[i-1]+1;while(EOF!=scanf("%d%I64d",&n,&m)){num=0;for(i=0;i<=n;i++)c[i]=i;//每次读入一组数据都重置数组for(i=0;i<m;i++){scanf("%d",&x);for(j=1;j<=n;j++){if(c[j]==x) break;}num+=s[n]*(j-1)+1;n--;for(;j<=n;j++)//i不等于xc[j]=c[j+1];}printf("%I64d\n",num);}return 0;}