Topcoder SRM583

题目大意

有一个n*m的01矩阵，每次等概率的选择一个1，然后将其标记（可能将已经标记的再标记），求每一行与每一列都至少有一个被标记的期望次数。
n×m≤200

O(2n+mnm)做法

设f[r][c]表示当前局面为行的二进制状态是r列的二进制状态是c的期望,g[r][c]类似的，表示其概率。
考虑转移，枚举一个当前行或列没有其他点被标记的点，然后转移式应当是这样的：
∑+∞i=1(f[r][c]+g[r][c]∗i)×1tot×(sum(r,c)tot)i−1
（其中sum(r,c)表示r,c局面下被覆盖的点的个数）
=f[r][c]×1tot−sum(r,c)+g[r][c]×tot(tot−sum(r,c))2
于是可以顺推，g类似

正解

我们的答案可以写成一个这样的形式：
Ans=∑+∞i=1F[i]∗i
F[i]表示刚好随机i次后将所有行和列覆盖的概率
同时可以发现
Ans=∑+∞i=0P[i]
P[i]表示做了i次后还没有成功的概率
于是可以容斥

然后极限化一下，就可以得到这种形式：

于是可以枚举行状态，然后利用DP解决。

Code

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)using namespace std;int get(){    char ch;    int s=0;    bool bz=0;    while(ch=getchar(),(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-');    if (ch=='-')bz=1;else s=ch-'0';    while(ch=getchar(),ch>='0'&&ch<='9')s=s*10+ch-'0';    if (bz)return -s;    return s;}const int N = 210;typedef double db;int f[N][2][N];int a[N][N];int n,m,tot;bool bz[N];int num[N];void calc(){    memset(f,0,sizeof(f));    f[0][0][0]=1;    int tmp=0;    fo(i,1,m){        int v=0;        fo(j,1,n)if (a[j][i]&&!bz[j])v++;        fo(j,0,1)            fo(k,0,tmp){                f[i][j][k]+=f[i-1][j][k];                f[i][j^1][k+v]+=f[i-1][j][k];            }        tmp+=v;    }    int pd=0;    fo(i,1,n)pd^=bz[i];    int v=0;    fo(i,1,n)    if (bz[i]){        fo(j,1,m)        if (a[i][j])v++;    }    fo(j,0,1)        fo(k,0,tmp)        num[k+v]+=int((pd^j)*2-1)*f[m][j][k];}void dfs(int x){    if (x>n){        calc();        return;    }    bz[x]=0;    dfs(x+1);    bz[x]=1;    dfs(x+1);}int main(){    freopen("refuse.in","r",stdin);    freopen("refuse.out","w",stdout);    n=get();m=get();    tot=0;    if (n<m)fo(i,1,n)fo(j,1,m)tot+=(a[i][j]=get());    else{fo(j,1,n)fo(i,1,m)tot+=(a[i][j]=get());swap(n,m);}    dfs(1);    db ans=0;    fo(i,1,tot)ans+=db(num[i])*tot/i;    printf("%.5lf\n",ans);    fclose(stdin);    fclose(stdout);    return 0;}