Arranging Coins（硬币排列）

You have a total of n coins that you want to form in a staircase shape, where every k-th row must have exactly k coins.（给你n枚硬币来组成一个阶梯形，这个阶梯每第k行必须包含k枚硬币）

Given n ,find the total number of full staircase rows that can be formed.（找出能组成完整阶梯的行数）

n is a non-negative integer and fits within the range of a 32-bit signed integer.

Example 1:
n = 5

The coins can form the following rows:
¤
¤ ¤
¤ ¤

Because the 3rd row is incomplete, we return 2.

Example 2:
n = 8

The coins can form the following rows:
¤
¤ ¤
¤ ¤ ¤
¤ ¤

Because the 4th row is incomplete, we return 3.

1.个人分析

从例子中观察分析可以看得出其中的求解规律，将输入的n不断进行减1,2,3…，直到n<=0为止。

2.个人解法

int arrangeCoins(int n) {    int i;          for (i=1; n>0; ++i){        n -= i;    }    if(n < 0)        return i - 2;    else        return i - 1;}

3.参考解法
（1）

int arrangeCoins(int n){    if(n <= 1) return n;    long left = 0, right = n;    while(left <= right){        long mid = left + (right - left)/2;        long sum = ((1 + mid) * mid)/2;        if(sum <= n){            left = mid + 1;        }else {            right = mid - 1;        }    }    return left - 1;}

（2）

int arrangeCoins(int n){     return sqrt(2 * (long)n + 1 / 4.0) - 1 / 2.0;}

4.总结
第一种解法是最简单直接的方法，时间复杂度为O(n)（也有说是O(sqrt(n))）；第二种则采用了二分查找的思路，时间复杂度为O(logn)；第三种则是利用一元二次方程求根的数学方法求解，时间复杂度为O(1)，但不明白为什么该问题与一元二次方程求根等价。

PS：

• 题目的中文翻译是本人所作，如有偏差敬请指正。
• 其中的“个人分析”和“个人解法”均是本人最初的想法和做法，不一定是对的，只是作为一个对照和记录。