NOIP2013 华容道

NOIP2013 华容道

Description

小 B 最近迷上了华容道，可是他总是要花很长的时间才能完成一次。于是，他想到用编程来完成华容道：给定一种局面，华容道是否根本就无法完成，如果能完成，最少需要多少时间。

小 B 玩的华容道与经典的华容道游戏略有不同，游戏规则是这样的：

1. 在一个 n*m 棋盘上有 n*m 个格子，其中有且只有一个格子是空白的，其余 n*m-1个格子上每个格子上有一个棋子，每个棋子的大小都是 1*1 的；
2. 有些棋子是固定的，有些棋子则是可以移动的；
3. 任何与空白的格子相邻（有公共的边）的格子上的棋子都可以移动到空白格子上。 游戏的目的是把某个指定位置可以活动的棋子移动到目标位置。

给定一个棋盘，游戏可以玩 q 次，当然，每次棋盘上固定的格子是不会变的，但是棋盘上空白的格子的初始位置、指定的可移动的棋子的初始位置和目标位置却可能不同。第 i 次玩的时候，空白的格子在第 EX_i 行第 EY_i 列，指定的可移动棋子的初始位置为第 SX_i 行第 SY_i 列，目标位置为第 TX_i 行第 TY_i 列。

假设小 B 每秒钟能进行一次移动棋子的操作，而其他操作的时间都可以忽略不计。请你告诉小 B 每一次游戏所需要的最少时间，或者告诉他不可能完成游戏。

Input

第一行有 3 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示 n、m 和 q；

接下来的 n 行描述一个 n*m 的棋盘，每行有 m 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，每个整数描述棋盘上一个格子的状态，0 表示该格子上的棋子是固定的，1 表示该格子上的棋子可以移动或者该格子是空白的。

接下来的 q 行，每行包含 6 个整数依次是 EX_i、EY_i、SX_i、SY_i、TX_i、TY_i，每两个整数之间用一个空格隔开，表示每次游戏空白格子的位置，指定棋子的初始位置和目标位置。

Output

输出有 q 行，每行包含 1 个整数，表示每次游戏所需要的最少时间，如果某次游戏无法完成目标则输出-1。

Sample Input

3 4 2

0 1 1 1

0 1 1 0

0 1 0 0

3 2 1 2 2 2

1 2 2 2 3 2

Sample Output

2

-1

Hint

【样例说明】

棋盘上划叉的格子是固定的，红色格子是目标位置，圆圈表示棋子，其中绿色圆圈表示目标棋子。

第一次游戏，空白格子的初始位置是 (3, 2)（图中空白所示），游戏的目标是将初始位置在(1, 2)上的棋子（图中绿色圆圈所代表的棋子）移动到目标位置(2, 2)（图中红色的格子）上。

移动过程如下:

第二次游戏，空白格子的初始位置是（1, 2）（图中空白所示），游戏的目标是将初始位置在（2, 2）上的棋子（图中绿色圆圈所示）移动到目标位置 (3, 2)上。

要将指定块移入目标位置，必须先将空白块移入目标位置，空白块要移动到目标位置，必然是从位置（2，2）上与当前图中目标位置上的棋子交换位置，之后能与空白块交换位置的只有当前图中目标位置上的那个棋子，因此目标棋子永远无法走到它的目标位置，游戏无法完成。

【数据范围】

对于 30%的数据，1 ≤ n, m ≤ 10，q = 1；

对于 60%的数据，1 ≤ n, m ≤ 30，q ≤ 10；

对于 100%的数据，1 ≤ n, m ≤ 30，q ≤ 500。

Solution：

谁能想到这是一道图论题呢？

首先对于60%的数据，直接朴素地BFS就可以了。当然如果写的好有70分或者80分。

然后对于最后的数据，我们可以发现BFS似乎已经无法再进行优化了，于是需要另辟新径。当我们在手工模拟数据时，可以发现如果我们想要向一个指定的方向移动一个棋子时，需要的步数并不小。首先白块需要在棋子的旁边，然后需要绕一圈来移动它。这个操作如果总是用BFS来移动是非常浪费的。实际上，因为原地图是不变的，所以每一次移动一颗棋子的代价都是固定的。

我们可以通过简单的BFS算出对于一个在坐标(x,y)的点，空白格在它的d(d∈[0,4))方向时，将这个点移到t(t∈[0,4))方向需要的步数。方法是求使得白格移动到将要前进的方向的位置需要的步数，再加1。我们将这个值记为Edge[x][y][d][t]，我们可以在O(n2m2)的时间内处理完毕。

如你所见，这确实就是图中的边。我们定义图中的点（即状态）为三元组(x,y,d)，表示点(x,y)，空白格在d(d∈[0,4))。对于每一次询问，我们首先用简单的BFS将空白格移动到方块的附近，然后把这四个状态作为源点跑最短路，枚举下一个点的方向，通过我们已经预处理好的边权Dijkstra就可以了。

当我们移动一个点时，白块的方向变为移动方向的反方向，详见下图：

然后BFS初始化的时候要注意把当前点标记为不可走，因为现在这个点是不可以移动的。

#include<ctime>#include<cctype>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#include<set>#include<map>#include<queue>#include<string>#include<vector>#define ll long long#define lson (p<<1)#define rson (p<<1|1)#define siz(x) (int)((x).size())#define lowbit(x) (x&(-x))using namespace std;inline void Rd(int &res){    char c;res=0;    while(c=getchar(),c<'0');    do{        res=(res<<1)+(res<<3)+(c^48);    }while(c=getchar(),c>='0');}const int M=32;int mp[M][M],n,m,q;int dx[]={1,0,-1,0};int dy[]={0,-1,0,1};struct Node{int x,y,dis;};Node Q[M*M];bool mark[M][M];int Edge[M][M][4][4];bool judge(int x,int y){return x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m;}int BFS_pre(int x,int y,int d,int t){    int ex=x+dx[t],ey=y+dy[t],px=x,py=y;    x+=dx[d],y+=dy[d];    if(!judge(ex,ey)||!judge(x,y)||mp[ex][ey]==0||mp[x][y]==0)return -1;    if(d==t)return 1;    int L=0,R=-1;    mp[px][py]=0;    memset(mark,0,sizeof(mark));    Q[++R]=(Node){x,y,0};    mark[x][y]=true;    while(L<=R){        Node now=Q[L++];        for(int i=0;i<4;i++){            int nx=now.x+dx[i],ny=now.y+dy[i];            if(!judge(nx,ny)||mark[nx][ny]||mp[nx][ny]==0)continue;            mark[nx][ny]=true;            if(nx==ex&&ny==ey){mp[px][py]=1;return now.dis+2;}            Q[++R]=(Node){nx,ny,now.dis+1};        }    }    mp[px][py]=1;    return -1;}int BFS(int sx,int sy,int tx,int ty){    if(sx==tx&&sy==ty)return 0;    memset(mark,0,sizeof(mark));    int L=0,R=-1;    Q[++R]=(Node){sx,sy,0};    mark[sx][sy]=true;    while(L<=R){        Node now=Q[L++];        for(int i=0;i<4;i++){            int nx=now.x+dx[i],ny=now.y+dy[i];            if(!judge(nx,ny)||mark[nx][ny]||mp[nx][ny]==0)continue;            mark[nx][ny]=true;            if(nx==tx&&ny==ty)return now.dis+1;            Q[++R]=(Node){nx,ny,now.dis+1};        }    }    return -1;}struct node{    int x,y,id,dis;    bool operator <(const node &A)const{        return dis>A.dis;    }};int dis[M][M][4],d[4];bool vis[M][M][4];priority_queue<node>Q1;int Dijkstra(int sx,int sy,int tx,int ty){    while(!Q1.empty())Q1.pop();    memset(dis,-1,sizeof(dis));    memset(vis,0,sizeof(vis));    for(int i=0;i<4;i++){        if(d[i]==-1)continue;        dis[sx][sy][i]=d[i];        Q1.push((node){sx,sy,i,d[i]});    }    while(!Q1.empty()){        node top=Q1.top();Q1.pop();        if(vis[top.x][top.y][top.id])continue;        vis[top.x][top.y][top.id]=true;        if(top.x==tx&&top.y==ty)return top.dis;        for(int i=0;i<4;i++){            if(Edge[top.x][top.y][top.id][i]==-1)continue;            int nx=top.x+dx[i],ny=top.y+dy[i],nid=(i+2)%4;            if(vis[nx][ny][nid])continue;            int &t=dis[nx][ny][nid];            if(t==-1||t>top.dis+Edge[top.x][top.y][top.id][i]){                t=top.dis+Edge[top.x][top.y][top.id][i];                Q1.push((node){nx,ny,nid,t});            }        }    }    return -1;}int main(){//  freopen("puzzle.in","r",stdin);//  freopen("puzzle.out","w",stdout);    Rd(n),Rd(m),Rd(q);    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=m;j++)            Rd(mp[i][j]);    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=m;j++)            for(int k=0;k<4;k++)                for(int t=0;t<4;t++){                    if(mp[i][j]==0)Edge[i][j][k][t]=-1;                    else Edge[i][j][k][t]=BFS_pre(i,j,k,t);                }    while(q--){        int ex,ey,sx,sy,tx,ty;        Rd(ex),Rd(ey),Rd(sx),Rd(sy),Rd(tx),Rd(ty);        if(sx==tx&&sy==ty){            puts("0");            continue;        }        mp[sx][sy]=0;        for(int i=0;i<4;i++){            if(mp[sx+dx[i]][sy+dy[i]]==1&&judge(sx+dx[i],sy+dy[i]))d[i]=BFS(ex,ey,sx+dx[i],sy+dy[i]);            else d[i]=-1;        }        mp[sx][sy]=1;        printf("%d\n",Dijkstra(sx,sy,tx,ty));    }    return 0;}