HDU 2262 Where is the canteen （高斯消元、概率）

题目连接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2262

题意：n*m的地图，有一个起点，有多个出口，上下左右走，有的格子不能走，求从起点走到一个出口的期望步数是多少。

第一次做浮点数高斯消元求期望的题。   算是复习了一下高斯消元的知识，发现对于以前学过的东西掌握的还是不好...很多地方都想不起来了...要多复习啊。

关于本题推荐一篇博客，写得比较详细。

http://blog.csdn.net/sr_19930829/article/details/38895163

思路如下：

地图n*m看成一个个格子，编号0,1,2,3...n*m-1， 那么坐标i,j的格子编号为 i*m+j
EK表示编号为K的格子到一个出口的期望步数
那么EK=0, K这里为出口的编号
我们要求的则是EK, K这里为起点的编号
由一个状态可以走向其他状态，假设当前K可以向三个方向走，
那么 EK= (EK(a) + EK(b) +EK(c)) /3 +1
一般的 EK=(Enext1+Enext2+Enext3+......Ecnt)/ cnt+1
整理得  Enext1+Enext2+Enext3+...Ecnt - EK*cnt= - cnt
对每个EK(K=0,1,2,3...n*m-1)，都建立这样的一个等式，那么可以列出 n*m个方程，然后采用高斯消元，求出E（起点）
其中有 n*m个方程，n*m个变量
a[i][j]代表第i个式子（从0开始）,第j个未知数的系数（从0开始）,其中EK为未知数
a[0][0] *E0+a[0][1]*E1+.........a[0][n*m-1]*E(n*m-1)= a[0][n*m]
a[1][0]* E0+a[1][1]*E1+.............................................  = a[1][n*m]
.....
.....
a[n*m-1][0]*E0+a[n*m-1][1]*E1+...........................   =a[n*m-1][n*m]
所以关键要求a[i][j]，如果a数组全部求出来了，然后直接带入高斯消元模板就可以了。
预处理：从每个出口进行bfs，把能到达的位置用flag[i][j]=1标记。
遍历每个格子，对每个格子建立一个方程，求出每个方程每个未知数的系数
用高斯消元求解。
如果起点可以访问到(flag[i][j]==1且高斯消元有解），那么输出唯一解，即E（sx*m+sy）其中，sx,sy为起点的坐标
否则输出-1.

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int maxn = 250;const double eps = 1e-12;char mp[20][20];bool book[20][20];int n, m;int sx, sy;int dir[4][2] = {0, 1, 1, 0, -1, 0, 0, -1};double a[maxn][maxn];queue<pair<int, int> > q;int equ,var;//equ个方程,var个变量double x[maxn];//解集bool free_x[maxn];int sgn(double x)  {      return (x>eps)-(x<-eps);  } bool check1(int x, int y) {    if(x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && book[x][y] == 0 && mp[x][y] != '#')         return 1;    return 0;}bool check2(int x, int y) {    if(x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && book[x][y] && mp[x][y] != '#')         return 1;    return 0;}void bfs() {    pair<int, int> now;    while(!q.empty()) {        now = q.front();        q.pop();        for(int i = 0; i < 4; i++) {            int tx = now.first + dir[i][0];            int ty = now.second + dir[i][1];            if(check1(tx, ty)) {                q.push(make_pair(tx, ty));                book[tx][ty] = 1;            }        }    }}// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(0表示无解，1表示唯一解，大于1表示无穷解，并返回自由变元的个数)int gauss(){    equ=n*m,var=n*m;    int i,j,k;    int max_r; // 当前这列绝对值最大的行.    int col; // 当前处理的列.    double temp;    int free_x_num;    int free_index;    // 转换为阶梯阵.    col=0; // 当前处理的列.    memset(free_x,true,sizeof(free_x));    for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)    {        max_r=k;        for(i=k+1;i<equ;i++)        {            if(sgn(fabs(a[i][col])-fabs(a[max_r][col]))>0)                max_r=i;        }        if(max_r!=k)        { // 与第k行交换.            for(j=k;j<var+1;j++)                swap(a[k][j],a[max_r][j]);        }        if(sgn(a[k][col])==0)        { // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.            k--; continue;        }        for(i=k+1;i<equ;i++)        { // 枚举要删去的行.            if (sgn(a[i][col])!=0)            {                temp=a[i][col]/a[k][col];                for(j=col;j<var+1;j++)                {                    a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*temp;                }            }        }    }    for(i=k;i<equ;i++)    {         if (sgn(a[i][col])!=0)            return 0;    }    if(k<var)  //多解的情况，本题无此情况     {        for(i=k-1;i>=0;i--)        {            free_x_num=0;            for(j=0;j<var;j++)            {                if (sgn(a[i][j])!=0&&free_x[j])                    free_x_num++,free_index=j;            }            if(free_x_num>1) continue;            temp=a[i][var];            for(j=0;j<var;j++)            {                if(sgn(a[i][j])!=0&&j!=free_index)                    temp-=a[i][j]*x[j];            }            x[free_index]=temp/a[i][free_index];            free_x[free_index]=0;        }        return var-k;    }    for (i=var-1;i>=0;i--)    {        temp=a[i][var];        for(j=i+1;j<var;j++)        {            if(sgn(a[i][j])!=0)                temp-=a[i][j]*x[j];        }        x[i]=temp/a[i][i];    }    return 1;}int main() {    while(~scanf("%d %d", &n, &m)) {        while(!q.empty()) q.pop();        memset(book, 0, sizeof book);        memset(a, 0, sizeof a);        getchar();        for(int i = 0; i < n; i++) {            for(int j = 0; j < m; j++) {                mp[i][j] = getchar();                if(mp[i][j] == '@') {                    sx = i, sy = j;                }                else if(mp[i][j] == '$'){                    q.push(make_pair(i, j));                    book[i][j] = 1;                }            }            getchar();        }        bfs();        for(int i = 0; i < n; i++) {            for(int j = 0; j < m; j++) {                if(mp[i][j] == '#') continue;                    int cnt = 0;                    if(mp[i][j] == '$') {                        a[i*m+j][i*m+j] = 1;                        a[i*m+j][m*n] = 0;                    }                    else {                        for(int k = 0; k < 4; k++) {                            int tx = i + dir[k][0];                            int ty = j + dir[k][1];                            if(check2(tx, ty)) {                                a[i*m+j][tx*m+ty] = 1;                                cnt++;                            }                        }                        a[i*m+j][i*m+j] = -cnt;                        a[i*m+j][m*n] = -cnt;                    }                            }        }        if(book[sx][sy] && gauss()) {            printf("%.6lf\n", x[sx*m+sy]);        }        else puts("-1");    }    return 0;}