[Codeforces#475D]CGCDSSQ（st表+二分+数学相关）

题目描述

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题意：对于每一个xi求存在多少(l,r)满足gcd(al,al+1...,ar)=xi

题解

设g(l,r)=gcd(al,al+1...,ar)，那么有一个非常重要的性质：
g(l,r),g(l,r+1),g(l,r+2)...是不增的且其值至多只会变化log2n次。
第一个性质非常显然，第二个性质的话由于每一次gcd变化都至少是/2了，那么至多变化log2ngcd就变为1了，就不会再变化了。
枚举区间的起点l，每一次二分gcd变化的点，然后统计区间数量。需要快速查询一段区间的gcd值，用st表可以实现O(1)。总时间复杂度O(nlog2n)。

代码

#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>#include<map>using namespace std;#define LL long long#define N 300005#define sz 17int n,q,g,loc,last;int a[N],x[N],st[N][sz+5],lg2[N];map <int,LL> ans;int gcd(int a,int b){    if (!b) return a;    else return gcd(b,a%b);}void init(){    for (int i=1,p=0;i<=n;++i)    {        while ((1<<p)<=i) ++p;        lg2[i]=p-1;    }    for (int i=1;i<=n;++i) st[i][0]=a[i];    for (int j=1;j<sz;++j)        for (int i=1;i<=n;++i)            if (i+(1<<j)-1<=n)                st[i][j]=gcd(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);}int query(int l,int r){    if (l>r) return 0;    int k=lg2[r-l+1];    return gcd(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]);}int find(int s,int x){    int l=s,r=n,mid,ans=n+1;    while (l<=r)    {        mid=(l+r)>>1;        int t=query(s,mid);        if (x>=t) ans=mid,r=mid-1;        else l=mid+1;    }    return ans;}int main(){    scanf("%d",&n);    for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);    init();    scanf("%d",&q);    for (int i=1;i<=q;++i) scanf("%d",&x[i]);    for (int i=1;i<=n;++i)    {        g=a[i];last=i;loc=i;        while (loc<=n)        {            loc=find(i,g-1);            ans[g]+=(LL)loc-(LL)last;            g=query(i,loc);last=loc;        }    }    for (int i=1;i<=q;++i)        printf("%I64d\n",ans[x[i]]);}

总结

①这个关于gcd的性质要记住。遇到数学相关的题性质要大胆想。