exam_11.10

炮(cannon)
【题⽬描述】 众所周知，双炮叠叠将是中国象棋中很厉害的⼀招必杀技。炮吃⼦时必须 隔⼀个棋⼦跳吃，即俗称“炮打隔⼦”。 炮跟炮显然不能在⼀起打起来，于是rly ⼀天借来了许多许多的炮在棋盘上摆了起来……他想知道，在N×M的矩形⽅格 中摆若⼲炮（可以不摆）使其互不吃到的情况下⽅案数有⼏种。 棋⼦都是相同的。
【输⼊说明】 ⼀⾏，两个正整数N和M。
【输出说明】 ⼀⾏，输出⽅案数mod 999983。
【样例输⼊】 1 3
【样例输出】 7
【数据范围】 对于40%的数据,N<=4,M<=4 对于70%的数据,N<=100,M<=8 对于100%的数据,N<=100,M<=10

题解：

[AHOI2009中国象棋] 原题

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;int n, m;long long f[111][111][111], ans;long long MOD = 999983;int main() {    freopen("cannon.in", "r", stdin);    freopen("cannon.out", "w", stdout);    scanf("%d%d", &n, &m);    f[0][0][0] = 1;    for(int i = 1; i <= n; i++) {        for(int j = 0; j <= m; j++) {            for(int k = 0; k <= m - j; k++) {                if(k && i == 1) break;                long long & now = f[i][j][k];                now += f[i - 1][j][k];                if(j >= 1) now = (now + f[i - 1][j - 1][k] * (m - j + 1 - k)) % MOD; //µÚiÐзÅÒ»¸ö ÇÒ·ÅÔÚÁË֮ǰûÓÐÅÚµÄÒ»ÁС£¡£                 if(j + 1 <= m && k >= 1) now = (now + f[i - 1][j + 1][k - 1] * (j + 1)) % MOD; //µÚiÐзÅÒ»¸ö ÇÒ·ÅÔÚÁË֮ǰÓÐÒ»¸öÅÚµÄÒ»ÁÐ                 if(j >= 2) now = (now + f[i - 1] [j - 2][k] * ((m - j + 2 - k) * (m - j + 2 - k - 1) / 2)) % MOD; //µÚiÐзÅÁ½¸ö ÇÒ¶¼·ÅÔÚÁË Ã»ÓÐÅÚµÄÁÐ                 if(k >= 1) now = (now + f[i - 1][j][k - 1] * (m - j - k + 1) * (j)) % MOD; //µÚiÐзÅÁ½¸ö Ò»¸ö·ÅÔÚûÓÐÅÚµÄÒ»ÁÐ Ò»¸ö·ÅÔÚÁËÓÐÒ»¸öÅÚµÄÒ»ÁÐ                 if(j + 2 <= m && k >= 2) now = (now + f[i - 1][j + 2][k - 2] * ((j + 2) * (j + 2 - 1) / 2) ) % MOD; //µÚiÐзÅÁ½¸ö ¶¼·ÅÔÚÁËÓÐÒ»¸öÅÚµÄÒ»ÁÐ                now %= MOD; //              cout<<"f["<<i<<"]["<<j<<"]["<<k<<"] = "<<now<<endl;            }        }    }    for(int i = 0; i <= m; i++)         for(int j = 0; j <= m - i; j++)             ans = (ans + f[n][i][j]) % MOD;    ans %= MOD;    printf("%lld\n", ans);}/**/

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三维状态的DP⾞(rook)【题⽬描述】 众所周知，⾞是中国象棋中最厉害的⼀⼦之⼀，它能吃到同⼀⾏或同⼀列 中的其他棋⼦。⾞跟⾞显然不能在⼀起打起来，于是rly⼀天又借来了许多许多 的⾞在棋盘上摆了起来……他想知道，在N×M的矩形⽅格中摆最多个数的⾞使 其互不吃到的情况下⽅案数有⼏种。但是，由于上次摆炮摆得实在太累，他为 了偷懒，打算增加⼀个条件：对于任何⼀个⾞A，如果有其他⼀个⾞B在它的上 ⾯（⾞B⾏号⼩于⾞A），那么⾞A必须在⾞B的右边（⾞A列号⼤于⾞B）。 棋⼦都是相同的。 【输⼊说明】 ⼀⾏，两个正整数N和M。 【输出说明】 ⼀⾏，输出⽅案数的末尾50位（不⾜则直接输出）。 【样例输⼊】 2 2【样例输出】 1 【数据范围】 对于20%的数据，N<=10，M<=10。 对于40%的数据，N<=40，M<=40。 对于70%的数据，N<=10000，M<=10000。 对于100%的数据，N<=1000000，M<=1000000。 

题解：

排列组合C(n,m) + 质因数分解(快速质因数分解John M. Pollard方法 n ^(1/4)) + 高精乘

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如果 n < m, 交换一下.一开始写的递推 O(m * (n - m +１))　后来发现可以矩阵乘法，　再后来发现可以两个ｓｕｍ转换前缀和。。。。然而不是正解。。。。注意坑点：如果答案超过50位，则前导零不能删，若答案不超过50位，不要前导零。

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#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;#define debug cout<<"Orzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz"<<endl;long long n, m;long long check[1111111], prime[1111111], js[1111111], ans[111];void work(long long now, int val) {    for(int i = 1; i <= prime[0]; i++) {        long long tmp = now;        while(tmp) {            if(val) js[i] += tmp / prime[i];            else js[i] -= tmp / prime[i];            tmp /= prime[i];        }    }}int work_2(long long x, int y) {    while(y--) {        for(int i = 1; i <= ans[0]; i++) ans[i] *= x;        for(int i = 1; i <= ans[0] + 8 && i <= 50; i++)             if(ans[i] > 9) {                ans[i + 1] += ans[i] / 10;                ans[i] %= 10;            }        ans[0] = min(50, (int)ans[0] + 8);        while(ans[ans[0]] == 0) ans[0]--;//      while(ans[ans[0] + 1]) ans[0]++; //DEBUG!!!!²»ÒªÕâôд£¡£¡£¡£¡ 901111 »áÔÚ0´¦Ìø³ö£¡£¡£¡£¡£¡Ê¹ans¡¾0¡¿ = 4 //      cout<<y<<" dfdfdfd "<<endl;//      getchar();    }}int main() {    freopen("rook.in", "r", stdin);    freopen("rook.out", "w", stdout);    ans[++ans[0]] = 1;    cin>>n>>m;    if(n < m) {        n += m;        m = n - m;        n -= m;    }    for(int i = 2; i <= n; i++) {        if(!check[i]) prime[++prime[0]] = i;        for(int j = 1; j <= prime[0]; j++) {            if(prime[j] * i > n) break;            check[prime[j] * i] = 1;            if(i % prime[j] == 0) break;        }    }    work(n, 1);    work(m, 0);    work(n - m, 0);    for(int i = 1; i <= prime[0]; i++) {        if(js[i] >= 1)             work_2(prime[i], js[i]);//      cout<<js[i]<<' '<<i<<' '<<prime[i]<<endl;    }    int xx = 50;    while(ans[xx] == 0 && xx > 1) xx--;    if(ans[51]) xx = 50;    for(int i = xx; i >= 1; i--) cout<<ans[i];    return 0;}

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皇后(queen)【题⽬描述】 众所不知，rly现在不会玩国际象棋。但是，作为⼀个OIer，rly当然做过⼋ 皇后问题。这⾥再啰嗦⼏句，皇后可以攻击到同⾏同列同对⾓线，在n*n的⽅格 中摆n个皇后使其互不攻击到，求不同的解的数量，这就是经典的n皇后问题。 现在问题推⼴到n皇后问题，这个问题对于你⽽⾔实在是⼩菜⼀叠。但因为上⼀ 次rly把棋盘弄破了，又拿不出新的，所以rly打算难⼀点点，问题就是破棋盘上 的n皇后问题。他想知道……（你们懂的）。 棋⼦都是相同的。 【输⼊说明】 ⼀⾏，⼀个正整数N。 接下来N⾏，每⾏N个数，要么为0，表⽰没坏，要么1，表⽰坏了。 【输出说明】 ⼀⾏，输出不同的解的数量。 【样例输⼊】 4 1 0 1 1  1 1 1 0  0 1 1 1  1 1 0 1 【样例输出】 1 【数据范围】 对于40%的数据，N<=13。 对于100%的数据，N<=16。 其中有30%的数据，棋盘没有破（你可以认为rly又去买了⼀个新的）。

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题解：

位运算的n皇后 比数组记录可选位置要快很多

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#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;int xie_sum[50], xie_unsum[50], hang[50], lie[50];long long ans;int cs[50];int n, cnt;long long db[32] = {0, 1, 0, 0, 2, 10, 4, 40, 92, 352, 724, 2680, 14200, 73712};struct node {    int x, y;    bool operator < (const node & xx) const {        return x < xx.x;    }}ha[356];int lb(int now) {    return now & (-now);}int dfs(int now, int lie, int xie_l, int xie_r) {    int nn = cs[now] & lie & xie_l & xie_r;    if(now > n) {        ans++;        return 0;    }    while(nn) {        int tmp = lb(nn);        int x1 = lie, x2 = xie_l, x3 = xie_r;        x1 ^= tmp;        x2 ^= tmp;        x3 ^= tmp;        x2 <<= 1;        x2 |= 1;        x3 >>= 1;        x3 |= 1 << (n - 1);        if(x2 >> n) x2 -= 1 << n;//      cout<<now<<' '<<nn<<' '<<tmp<<' '<<x1<<' '<<x2<<' '<<x3<<" dfdfdfdf "<<endl;        nn -= tmp;        dfs(now + 1, x1, x2, x3);    }}int main() {    freopen("queen.in", "r", stdin);    freopen("queen.out", "w", stdout);    scanf("%d", &n);    for(int i = 1; i <= n; i++) {        for(int j = 1; j <= n; j++) {            int xx;            scanf("%d", &xx);            if(!xx) cs[i] |= (1 << (n - j));        }//      cout<<"cs["<<i<<"] = "<<cs[i]<<endl;    }//  sort(ha + 1, ha + 1 + cnt);//  if(cnt == n * n) {//      cout<<db[n]<<endl;//      return 0;//  }    dfs(1, (1 << n) - 1, (1 << n) - 1, (1 << n) - 1);    cout<<ans<<endl;    return 0;}/*41 0 1 11 1 1 00 1 1 11 1 0 1long long db[32] = {0, 1, 0, 0, 2, 10, 4, 40, 92, 352, 724, 2680, 14200, 73712}40 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0140 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0*/