11.8时空传送

Problem

有一个有n个点m条有向边的有向无环图，问删掉某个点后最长路最小变成多少。

Solution

可以发现，我们麻烦的地方在于，有可能我们删掉一个点之后，会有造出一条完全不相关的最长路（即与原本最长路没有交集）。
假设我们现在删掉了点x，那么观察任意一条路径，我们必定可以将其分成两部分（可能某一部分是空的），前一部分的点的拓扑序在x之前，后一部分的点的拓扑序在x之后（注意是严格的“之前”“之后”），这样就保证了不会包含点x，设所有拓扑序在x之前的点为S集，在x之后的点为T集，于是我们可以维护所有从S集连到T集的贡献，显然这只需要预处理一下以每个点为结尾的最长路f[x]和以每个点为开头的最长路g[x]，当然还有可能最长路的路径不包含S或T集中的点，那么同样的也维护S集中的点的f[x]和T集中的点的g[x]就好了，我们使用堆来维护这样的最大值。
更形象的，我们画个图来解释一下：
一开始我们的图是这样的：

其中蓝色的表示S集，绿色的表示T集，红色的表示从S集到T集的连边。
那么现在在堆中的值应该是蓝色点（S集）的f值、绿色点（T集）的g值，以及所有红色连边的贡献((u,v)的贡献应该是f[u]+g[v]+1)。
现在我们尝试将x从T集移到S集并计算删掉x的答案。
首先将所有到x的有向边删掉（为什么不用删掉从x出发的有向边？因为此时只有红色边在堆中），并将x的g值在堆中删除，于是图变成了：

于是当前堆中的最大值就是删掉x的最长路。
现在尝试将x移到S集中，将x的出边都放进堆中，并将x的f值也放进去，于是图变成了：

于是我们可以按照拓扑序来加点到S集中，这样就可以完美解决了。