rsa加密算法

RSA加密算法

RSA加密算法简史

　　RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

公钥与密钥的产生

　　假设Alice想要通过一个不可靠的媒体接收Bob的一条私人讯息。她可以用以下的方式来产生一个公钥和一个私钥：

1. 随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N=pq。
2. 根据欧拉函数，求得r = (p-1)(q-1)
3. 选择一个小于 r 的整数 e，求得 e 关于模 r 的模反元素，命名为d。（模反元素存在，当且仅当e与r互质）
4. 将 p 和 q 的记录销毁。

(N,e)是公钥，(N,d)是私钥。Alice将她的公钥(N,e)传给Bob，而将她的私钥(N,d)藏起来。

加密消息

　　假设Bob想给Alice送一个消息m，他知道Alice产生的N和e。他使用起先与Alice约好的格式将m转换为一个小于N的整数n，比如他可以将每一个字转换为这个字的Unicode码，然后将这些数字连在一起组成一个数字。假如他的信息非常长的话，他可以将这个信息分为几段，然后将每一段转换为n。用下面这个公式他可以将n加密为c：

　　n^e ≡ c (mod N)

计算c并不复杂。Bob算出c后就可以将它传递给Alice。

解密消息

Alice得到Bob的消息c后就可以利用她的密钥d来解码。她可以用以下这个公式来将c转换为n：

　　c^d ≡ n (mod N)

得到n后，她可以将原来的信息m重新复原。

解码的原理是：

　　c^d ≡ n ^e·d(mod N)

以及ed ≡ 1 (mod p-1)和ed ≡ 1 (mod q-1)。由费马小定理可证明（因为p和q是质数）

　　n ^e·d ≡ n (mod p) 　　和 　n ^e·d ≡ n (mod q)

这说明（因为p和q是不同的质数，所以p和q互质）

　　n ^e·d ≡ n (mod pq)

计算公钥和密钥

1. 假设p = 3、q = 11（p，q都是素数即可。），则N = pq = 33；
2. r = (p-1)(q-1) = (3-1)(11-1) = 20；
3. 根据模反元素的计算公式，我们可以得出，e·d ≡ 1 (mod 20),即e·d = 20n+1 (n为正整数)；我们假设n=1，则e·d = 21。e、d为正整数，并且e与r互质，则e = 3，d = 7。（两个数交换一下也可以。）

　　到这里，公钥和密钥已经确定。公钥为(N, e) = (33, 3)，密钥为(N, d) = (33, 7)。

互质数

　　百度百科上的解释是：公因数只有1的两个数，叫做互质数。；维基百科上的解释是：互质，又称互素。若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。

　　常见的互质数判断方法主要有以下几种：

1. 两个不同的质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。
2. 一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。
3. 相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
4. 相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
5. 较大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
6. 小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7和 16。
7. 2和任何奇数是互质数。例如2和87。
8. 1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
9. 辗转相除法。

哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？

孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？

斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？

如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立：