UVA 12558 埃及分数（迭代搜索）

【题意】

        把a/b写成不同分数之和，且分数分子必须为1，要求项数尽量小，在此前提下最小的分数尽量大，然后第

    二小的分数尽量大……另外有k（0<=k<=5）个不超过1000的正整数不能用作分母。

            输入保证2<=a<b<=876,gcd（a，b）=1。

【分析】

       通过之前看的简单的埃及分数，知道了大体的求解步骤。

       1.  此题需要用迭代加深搜索，如果只dfs，是一个没有下界的搜索，死递归；如果bfs，内存开销大。

       2.  选当前分数时，从最接近的值开始，a/b最接近的值就是1/（b/a），然后是结束，结束最大为剩余步数

  step*b/a，因为1/（b/a）平均拆成step份，step个分数相加才等于a/b，因为越往后分母越大，如果当前分母都

  比step*b/a大，无论后面是多大的分数加和都小于a/b。

       3.  将不能出现的正整数用数组标记下来，遍历时进行判断。因为给你不能出现的正整数范围比较小，所以

  用数组标记节约时间，如果数据范围大，可以选择用set容器进行存储，进行判断是否当前正整数能使用。使用

  数组标记就要注意一个细节，就是正整数不超过1000，所以判断时，先判断是否超过1000，在判断数组，不然

  会数组越界。

        4.  因为分母会很大，int是存不下的，需要用long long。简单的埃及分数是使用的int。 

        5.  拆分后的分数项数，没有具体要求所以，最好定大一些，不过此题不用太大，反正10项可以过。

 

【代码】

#include<stdio.h>#include<string.h>const int N=10;typedef long long LL;LL dep,flag,pre[N],now[N];bool book[1010];// 函数功能：求最大公约数LL gcd(LL a,LL b){    LL temp;    while(a!=0)    {        temp=a;        a=b%a;        b=temp;    }    return b;}// 函数功能：遍历第dep步的所有解void dfs(LL a,LL b,LL k){    if(b%a==0&&b/a>now[k-1]&&(b/a>1000||!book[b/a])) // 找到符合要求的结果    {           /* 不要忘记判断最后的结果是否能使用，不然会WA，且要记得b/a的范围在1000以内才能判断，不然会数组越界 */        /* 不能把book放下面判断，没有循环continue不能用，return会出错，可能没有到达dep步b%a==0，但是b/a是不能使用的 */        now[k]=b/a;        bool ans=0;        for(int i=k;i>=1;i--)        {            if(now[i]<pre[i])            {                ans=1;                break;            }            else if(now[i]>pre[i])                break;        }        if(!flag||ans)            memcpy(pre,now,sizeof(now));        flag=1;        return ;    }    LL s=b/a;    if(s<=now[k-1]) s=now[k-1]+1;    LL t=(dep-k+1)*b/a;   // 迭代搜索执行到第dep步就结束了，限制上界                          /* 之所以是这个公式是，s是使等式成立最接近的解，把s平均拆分成dep-k+1份，如果没t还小，剩下的dep-k步无论取多少都会偏小  */    if(flag&&t>pre[dep]) t=pre[dep]-1;    for(LL i=s;i<=t;i++)    {        if(i<=1000&&book[i]) // 判断这个点能否使用，不要忘记范围，不要越界访问            continue;        now[k]=i;        LL m=gcd(a*i-b,b*i);        dfs((a*i-b)/m,(b*i)/m,k+1);    }    return ;}// 函数作用：简洁。可去掉，放在main函数中void slove(LL a,LL b){    now[0]=1;    for(dep=2;dep<=N;dep++)    {        dfs(a,b,1);        if(flag)        {            printf("1/%lld",pre[1]);            for(LL i=2;i<=dep;i++)                printf("+1/%lld",pre[i]);            printf("\n");            return ;        }    }    return ;}int main(){    int T,cnt=1;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        flag=0;        memset(book,false,sizeof(book));        LL a,b,k,x;        scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&k);        while(k--)        {            scanf("%lld",&x);            book[x]=true;        }        printf("Case %d: %lld/%lld=",cnt++,a,b);        slove(a,b);    }    return 0;}

【收获】

       1. 认真思考题目的上界是什么。在题目没有给上界或下界时，需要自己去推出

上界（下界），如果推不出来就尽量开大一些。如果没有上界，递归就是死递归。

       2. 注意细节。使用数组时，要注意思考下标是否会越界，此题RE了n次。

       3. 思考问题，要认真思考。此题结束条件是一个坑，因为有不能使用的正整

数，所以可能没有走到对应的步数或者走到对应步数的正整数不能使用，如果处理

不好就会WA。认真思考结束条件和特殊数据。

       4. long long 的使用。

       5. 求最大公约数（好久没做过，忘个差不多了）。