Leetcode 221. Maximal Square

题目：

Given a 2D binary matrix filled with 0's and 1's, find the largest square containing only 1's and return its area.

For example, given the following matrix:

1 0 1 0 01 0 1 1 11 1 1 1 11 0 0 1 0

Return 4.

大意是给定一个0，1矩阵，求出矩阵中面积最大的全1正方形。

思路：

由于是从动态规划标签选出来的题目，所以就用动态规划的思路去解决该问题。考虑矩阵中某一点（i，j），如果该点为0，那么不存在包含（i，j）的全1正方形，所以包含该点的最大全1正方形面积为0。

如果该点为1，那么包含该点的全1正方形是由上边、左边或左上角的正方形扩展而来。以上边的点为例，假设（i-1，j）的最大全1正方形面积为a^2，如果可以扩展至（i，j），那么（i，j-1）开始向左a个点都应该为1，（i，j-a）及向上a个点都应该为1，很明显左、上、左上各有三个相同面积的全1正方形（如图）。假使左边和左上角的正方形面积比a^2大，（i，j）的最大全1正方形面积仍然不会变。所以（i，j）的全1正方形面积可以由上边的全1正方形面积得到，只要左边和左上角的全1正方形面积不小于a^2。由此，我们可以发现，（i，j）的最大全1正方形面积其实受制于三个方向中全1正方形面积最小的点。

故有转移方程：d[i][j] = min(d[i-1][j-1],d[i][j-1],d[i-1][j])，d[i][j]表示点（i，j）的最大全1正方形边长。

代码如下：

class Solution {public:    int maximalSquare(vector<vector<char> > &matrix) {        if (matrix.size() == 0)            return 0;        const int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();        int d[m][n], maxArea = 0;                for (int i = 0; i < matrix[0].size(); i++) {            d[0][i] = matrix[0][i]-'0';            maxArea = d[0][i] > maxArea ? d[0][i] : maxArea;         }        for (int i = 0; i < m; i++) {            d[i][0] = matrix[i][0]-'0';            maxArea = d[i][0] > maxArea ? d[i][0] : maxArea;         }                for (int i = 1; i < m; i++) {            for (int j = 1; j < n; j++) {                if (matrix[i][j] == '0') {                    d[i][j] = 0;                    continue;                }                d[i][j] = d[i-1][j-1] < d[i][j-1] ? d[i-1][j-1]+1 : d[i][j-1]+1;                d[i][j] = d[i][j] < d[i-1][j]+1 ? d[i][j] : d[i-1][j]+1;                maxArea = d[i][j] > maxArea ? d[i][j] : maxArea;             }                    }        return maxArea*maxArea;        }};

复杂度分析：程序只需要遍历完矩阵中的每个点即可得到结果，所以时间复杂度为O(m*n)，m*n为矩阵规模。空间复杂度为O(m*n)。