一道三角函数相关级数求和问题

一道三角函数相关级数求和问题

@(微积分)

设an=∫nπ0x|sinx|dx,n=1,2,3,...,试求∑∞n=1an2n

分析：这种题乍看起来束手无策。主要障碍卡在了对积分的处理上。

首先要明确，如果一个积分不可直接求解，那么是否可想一想间接变通求解？

比如，这里，是否可利用周期性化简函数？

方向选对了，才有进一步写下去的必要，否则很可能是无用功。

令x=nπ−t,→dx=−dt

an=−∫0nπ(nπ−t)|sint|dt=nπ∫nπ0|sinx|dx−∫nπ0x|sinx|dx=nπ∫nπ0|sinx|dx−an→an=nπ2∫nπ0|sinx|dx

注意到，∫nπ0|sinx|dx=n∫π0sinxdx=2nπ

因此：an=n2π,n=1,2,...

这是很不容易想到的，如果不会选择这样的方法的话。

由待求解的

∑n=1∞an2n=∑n=1∞n2π2n=π∑n=1∞n22n

可以抽象出：S(x)=∑∞n=1n2xn

按照吸收系数的原则进行求解。
显然，

S(x)=∑n=1∞n2xn=x∑n=1∞n⋅nxn−1=x∑n=1∞n(xn)′=x∑n=1∞(nxn)′=x(∑n=1∞nxn)′=x(x∑n=1∞nxn−1)′=x(x∑n=1∞(xn)′)′=x(x(∑n=1∞xn)′)′=x(x(11−x−1)′)′=x(x(1−x)2)′=(1+x)x(1−x)3,−1<x<1

注意：求和符号是与n相关的，因此可以自由放置，这里紧跟n,可以简化问题。
令x=12,得到：

∑∞n=1an2n=πS(12)=6π.