【Noi OpenJudge】 核电站 解题报告

一个核电站有N(1≤N≤50)个放核物质的坑，坑排列在一条直线上。如果连续M(2≤M≤5)个坑中放入核物质，则会发生爆炸，于是，在某些坑中可能不放核物质。
任务：对于给定的N和M，求不发生爆炸的放置核物质的方案总数
这道题比较容易想到的递推是二维的，用s[i][0]和s[i][1]来表示第i个核电站不放或放且不爆炸的总方案数

s[i][0]=s[i−1][0]+s[i−1][1](1≤i≤n)

s[i][1]=⎧⎩⎨⎪⎪s[i−1][0]+s[i−1][1]s[i−1][0]+s[i−1][1]−1s[i−1][0]+s[i−1][1]−s[i−m][0](i<m)(i=m)(i>m)⎫⎭⎬⎪⎪

i<m和i=m的情况比较简单易懂，解释一下i>m时的转移：
s[i][0] 的转移还是由s[i−1][0]+s[i−1][1] 得来，s[i][1] 转移的一部分仍然是s[i−1][0]，因为i−1 不放，第i 个显然是可以放的，而在转移s[i−1][1] 的时候则需要处理一下，s[i−1][1] 中有m−1 个连续放的情况，加上第i 个为连续放m 个，会出现爆炸的情况，所以需要只减去m−1 个连续放的情况，我们知道，m−1 个连续放只可能为……,1,1，……，1,1(1代表放核物质，m−1个1) ，第i−m 个坑一定是不放，当且仅当i−m 不放时才会出现m−1 个连续放的情况，所以再减去s[i−m][0] .
代码如下：

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;long long s[55][2],i,j,n,m;int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    s[1][0]=s[1][1]=1;     for(i=2;i<=m-1;i++)    {        s[i][0]=s[i-1][0]+s[i-1][1];        s[i][1]=s[i-1][0]+s[i-1][1];    }    s[m][0]=s[m-1][0]+s[m-1][1];    s[m][1]=s[m-1][1]-1+s[m-1][0];    for(i=m+1;i<=n;i++)    {        s[i][0]=s[i-1][0]+s[i-1][1];        s[i][1]=s[i-1][1]-s[i-m][0]+s[i-1][0];    }    printf("%lld",s[n][1]+s[n][0]);}//注意：要开long long类型存储

最神奇的做法是一维DP，和二维类似，直接贴代码

#include<cstdio>long long f[55];int i,n,m;int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    f[0]=1;    for(i=1;i<=m-1;i++)    if(i<m) f[i]=2*f[i-1];    f[m]=2*f[m-1]-1;    for(i=m+1;i<=n;i++)    f[i]=2*f[i-1]-f[i-m-1];    printf("%lld",f[n]);    return 0;}