【BZOJ 1064】【NOI 2008】假面舞会

Description

一年一度的假面舞会又开始了，栋栋也兴致勃勃的参加了今年的舞会。今年的面具都是主办方特别定制的。每个参加舞会的人都可以在入场时选择一 个自己喜欢的面具。每个面具都有一个编号，主办方会把此编号告诉拿该面具的人。为了使舞会更有神秘感，主办方把面具分为k (k≥3)类，并使用特殊的技术将每个面具的编号标在了面具上，只有戴第i 类面具的人才能看到戴第i+1 类面具的人的编号，戴第k 类面具的人能看到戴第1 类面具的人的编号。 参加舞会的人并不知道有多少类面具，但是栋栋对此却特别好奇，他想自己算出有多少类面具，于是他开始在人群中收集信息。 栋栋收集的信息都是戴第几号面具的人看到了第几号面具的编号。如戴第2号面具的人看到了第5 号面具的编号。栋栋自己也会看到一些编号，他也会根据自己的面具编号把信息补充进去。由于并不是每个人都能记住自己所看到的全部编号，因此，栋栋收集的信 息不能保证其完整性。现在请你计算，按照栋栋目前得到的信息，至多和至少有多少类面具。由于主办方已经声明了k≥3，所以你必须将这条信息也考虑进去。

Input

第一行包含两个整数n, m，用一个空格分隔，n 表示主办方总共准备了多少个面具，m 表示栋栋收集了多少条信息。接下来m 行，每行为两个用空格分开的整数a, b，表示戴第a 号面具的人看到了第b 号面具的编号。相同的数对a, b 在输入文件中可能出现多次。

Output

包含两个数，第一个数为最大可能的面具类数，第二个数为最小可能的面具类数。如果无法将所有的面具分为至少3 类，使得这些信息都满足，则认为栋栋收集的信息有错误，输出两个-1。

Sample Input

【输入样例一】

6 5

1 2

2 3

3 4

4 1

3 5

【输入样例二】

3 3

1 2

2 1

2 3

Sample Output

【输出样例一】

4 4

【输出样例二】

-1 -1

HINT

100%的数据，满足n ≤ 100000, m ≤ 1000000。

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Solution

先思考拓扑结构，显然是一个有向图，并且可能有环。
直接思考可能有点困难。我们先从特殊入手。
先考虑树的情况。假设是有根树。

显然 max_ans = 3,min_ans = 2;
由于k>=3,所以max_ans=min_ans=3;
然后用类似的方法构造一棵树，得出:
max_ans = 最长链,min_ans = 3
然后我们将树扩展成森林。
maxans=Σ最长链的长度
这个时候我们考虑在树中加边，变成有向图。
然后我们再次从特殊情况考虑。
先考虑一个环。

我们发现答案就是环长度的约数。
但是如果是下面这种图呢？

但是如果这个有向图看上去是个简单环，但是它上面有些边反向了，这种情况下，我们把这个有向图转换成无向图来看待，它还是一个简单环，此时合法的类数是环上正向边个数-反向边个数的约数。如下图是一个例子，这个“简单环”有6条正向边，2条反向边，注意到一条反向边肯定和一条正向边头碰头地“抵消”掉了，把这些边和点缩成一个点，这时候这个“简单环”就会变成一个普通的有向图的简单环，变成了上面的情况。扩展到一般情况，连续的若干条反向边和连续的若干条正向边也会像头碰头一样“抵消”掉。

所以我们采用无向图建模。
如何计算？考虑边权。
如果A->B 则边权+1,B->A,则A->B的边权-1。

我们可以将原来的有向图转为无向图（一条无向边=2条方向相反的有向边），与原图方向相同的有向边定义为正向边，边权为1，与原图反向的定义为反向边，边权为-1。
那么这样就比较方便了，一个环上的类数一定是这个环的长度的约数。
如果这个有向图转无向图后有环，就不需要考虑树的情况了；反之，如果没有环，那么整张图就是一个森林，对森林中每个树分开进行BFS，统计答案求和即可，这是类数最大值，类数最小值显然为3。

参考代码实现。我不想再打字了。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define M 1000010#define N 100010int n,m,a,b,eid,head[N];struct Edge{    int from,to,w,next;}e[M<<1];inline void adde(int u,int v,int w){    e[eid].from = u;    e[eid].to = v;    e[eid].w = w;    e[eid].next = head[u];      head[u]=eid++;}queue<int> q;int mxdis,midis,u,v,dis[N],circle;bool vis[N];int gcd(int a,int b){for(int t;b!=0;t=a,a=b,b=t%a);return a;}int bfs(int s){    dis[s] = mxdis = midis = 0;    while(!q.empty())q.pop();    q.push(s);    while(!q.empty())    {        u = q.front();q.pop();        for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)        {            v = e[i].to;            if(vis[v])            {                circle = gcd(circle,dis[u]+e[i].w-dis[v]);                continue;            }            vis[v] = true;            dis[v] = dis[u]+e[i].w;            mxdis = max(mxdis,dis[v]);            midis = min(midis,dis[v]);            q.push(v);          }           }    return mxdis-midis+1;}int sum,mxans,mians;int main(){    memset(head,-1,sizeof(head));    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<=m;i++)    {        scanf("%d%d",&a,&b);        adde(a,b,1);        adde(b,a,-1);    }    for(int i=1;i<=n;i++)        if(!vis[i])sum+=bfs(i);    if(circle<0)circle = -circle;    if(circle)    {        if(circle<3)puts("-1 -1");        else        {            for(mians=3;mians<circle&&circle%mians;mians++);            printf("%d %d\n",circle,mians);                 }    }    else if(sum<3)        puts("-1 -1");    else printf("%d 3",sum);    return 0;}

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Reference

[1]http://blog.csdn.net/qpswwww/article/details/44044229

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（一开始写了一份结果突然死机了..还没有存草稿..好心累..）