子集生成算法 之 位向量法和增量构造法

什么是子集生成?

算法竞赛经典入门中的解释：给定一个集合，枚举所有的可能的子集。

位向量法

1.什么是位向量法？

通过构造一个标记向量pd[i]，而不直接构造存放题目数据的子集A。

当pd[i]==true的时候，标记了了我们把数据集合中的第i个位置的数据放入一个子集中，这一切都是通过标记数组pd[]来实现的。

2.原理图

#include<iostream>#include<stdio.h>using namespace std;int n;int k1[10];bool pd[10];void vec_cl (int cur){if (cur != 0){for (int i=0;i<n;i++){if (pd[i] == true){cout<<k1[i];}}cout<<endl;}if (cur == n)//设置递归出口，证明此时已经到达数据边界，开始弹出系统栈return ;for (int i=0;i<n;i++){if (pd[i] == false){pd[i] = true;//进行标记，表明此时数据已经在一个未知名的子集中存放vec_cl (i+1);pd[i] = false;//进行标记，表明此时子集已经输出完毕，开始找新的子集，同时要进行一个恢复原数据状态的操作}}}int main (){while (cin>>n){memset(k1,0,sizeof(k1));memset(pd,false,sizeof(false));for (int i=0;i<n;i++){cin>>k1[i];}vec_cl (0);}return 0;}

执行结果：

优点：

• 相比于其他两种算法（增量构造法，二进制法），这种算法理解起来比较容易

缺点：

• 相比于其他两种算法，此种算法效率不够，我们需要访问解答树中的所有的节点，不满足我们设定的特定条件的节点也被访问了，这点我归纳为这是暴力求解法的一种算法。

增量构造法

1.什么是增量构造法

在一次操作中尽量准确从集合A中，筛选出一个符合我们设置条件的元素，并放入一个新的集合中，构造一个子集B。

2.原理图

#include<iostream>#include<stdio.h>using namespace std;int n;int k1[10];//存放具体数据int pos[10];//存放每次查找下一个元素的在集合k1中元素的具体位置void add_cl (int cur)//从一定程度上，我们可以这么理解cur参数：即cur是我们进行图的遍历的层数{if(cur != 0){for (int i=0;i<cur; i++){cout<<k1[pos[i]];}cout<<endl;}int dingwei = cur ? pos[cur-1] + 1 : 0;//这句对于大多数人来说比较晦涩难懂，下面注释部分为这句的较为通俗的写法//上面一句就是这个算法的核心------->> 我们的集合pos其实存放的数据是满足我们设置的一定条件的集合k1中的元素的具体位置//我们通过一些条件控制到达了避过一部分已经找到的子集目的，有效的过滤了不满足条件的集合，增加了我们进行了递归操作的效率/*if (cur == 0){dingwei = 0;}else{dingwei = pos[cur-1] + 1;}*/for (int i=dingwei;i<n;i++){pos[cur] = i;add_cl(cur+1);//这个算法的一个好处：我们不用特别的判断递归条件，因为我们进行的数组的遍历，我们通过循环无形中进行了控制，//也就是说在此时这个for循环的工作空间内，进行了添加数据的操作，如果不满足这个for循环的条件，我们就可以这么认为：无法添加新的元素，自然也就不会有递归了}}int main (){while (cin>>n){memset(k1,0,sizeof(k1));memset(pos,0,sizeof(pos));for (int i=0;i<n;i++){cin>>k1[i];}add_cl (0);}return 0;}

优点：

• 有效的控制了递归的运行效率，我们不用访问解答树的每一个节点，能比较快的查找下一个元素所在的位置
• 在特定的要求下，我们能进行比较好的条件控制，下面我会举一个例子。

缺点：

• 比较抽象，有一点回溯的思想，我们也可以抽象成图的思想（毕竟树结构也是图的一个分支）,如果理解这个算法，对于回溯会有比较好的理解。

我们举一个例子：

当我们设置条件，比如：我想要包含两个元素的子集

我们的代码就可以这么书写：

#include<iostream>#include<stdio.h>using namespace std;int n;int k1[10],pos[10];void cl (int cur){if (cur==2){for (int i=0;i < cur ;i++){cout<<k1[pos[i]];}cout<<endl;}int dingwei = 0;if (cur == 0){dingwei = 0;}else{dingwei = pos[cur-1] + 1;}for (int i=dingwei; i<n;i++){pos[cur] = i;cl(cur+1);}}int main (){while (cin>>n){memset(k1,0,sizeof(k1));for (int i=0;i<n;i++){cin>>k1[i];}memset(pos,false,10);cout<<"查看初始化的数组k1"<<endl;for (int i=0;i<10;i++){cout<<k1[i];}cout<<endl;cl(0);}return 0;}

关于子集生成算法的二进制法，由于本人愚笨，还没有更好的领悟，只好在下一次更新中写出来分享给大家。

对于上面这两种算法，如果有不对或者有更好的优化，请各位在评论区下面写出来，让我们共同进步。