旋转表示方法

旋转表示方法

旋转，应该是三种坐标变换——缩放、旋转和平移，中最复杂的一种了。大家应该都听过，有一种旋转的表示方法叫四元数。按照我们的习惯，我们更加熟悉的是另外两种旋转的表示方法——方向余弦矩阵旋转和欧拉旋转。

• 方向余弦矩阵旋转使用了一个4*4大小的矩阵来表示绕任意轴旋转的变换矩阵；
• 欧拉旋转则是按照一定的坐标轴顺序（例如:先x、再y、最后z）、每个轴旋转一定角度来变换坐标或向量，它实际上是一系列坐标轴旋转的组合。
• 四元数本质上是一种高阶复数（听不懂了吧。。。），是一个四维空间，相对于复数的二维空间。我们高中的时候应该都学过复数，一个复数由实部和虚部组成，即x = a + bi，i是虚数单位，如果你还记得的话应该知道i^2 = -1。而四元数其实和我们学到的这种是类似的，不同的是，它的虚部包含了三个虚数单位，i、j、k，即一个四元数可以表示为x = a + bi + cj + dk。

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• 方向余弦矩阵旋转
  
  • 优点：
    
    • 旋转轴可以是任意向量；
  • 缺点：
    
    • 旋转其实只需要知道一个向量+一个角度，一共4个值的信息，但矩阵法却使用了16个元素；
    • 而且在做乘法操作时也会增加计算量，造成了空间和时间上的一些浪费；

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• 欧拉旋转
                  
  定义上面三个黑色字体角度分别为绕Z轴、Y轴、X轴的旋转角度，如果用Tait-Bryan angle表示，分别为Yaw、Pitch、Roll。
  
  • 优点：
    
    • 很容易理解，形象直观；
    • 表示更方便，只需要3个值（分别对应x、y、z轴的旋转角度）；但按我的理解，它还是转换到了3个3*3的矩阵做变换，效率不如四元数；
  • 缺点：
    
    • 之前提到过这种方法是要按照一个固定的坐标轴的顺序旋转的，因此不同的顺序会造成不同的结果；
    • 会造成万向节锁（Gimbal Lock：视频介绍）的现象。这种现象的发生就是由于上述固定坐标轴旋转顺序造成的。理论上，欧拉旋转可以靠这种顺序让一个物体指到任何一个想要的方向，但如果在旋转中不幸让某些坐标轴重合了就会发生万向节锁，这时就会丢失一个方向上的旋转能力，也就是说在这种状态下我们无论怎么旋转（当然还是要原先的顺序）都不可能得到某些想要的旋转效果，除非我们打破原先的旋转顺序或者同时旋转3个坐标轴。这里有个视频可以直观的理解下；
    • 由于万向节锁的存在，欧拉旋转无法实现球面平滑插值；

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• 四元数旋转
  
  • 优点：
    
    • 可以避免万向节锁现象；
    • 只需要一个4维的四元数就可以执行绕任意过原点的向量的旋转，方便快捷，在某些实现下比旋转矩阵效率更高；
    • 可以提供平滑插值；
  • 缺点：
    
    • 比欧拉旋转稍微复杂了一点点，因为多了一个维度；
    • 理解更困难，不直观；