算法-中国剩余定理

POJ 1006 生理周期
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Description
人生来就有三个生理周期，分别为体力、感情和智力周期，它们的周期长度为23天、28天和33天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天，人会在相应的方面表现出色。例如，智力周期的高峰，人会思维敏捷，精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同，所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人，我们想知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期，我们会给出从当前年份的第一天开始，到出现高峰的天数（不一定是第一次高峰出现的时间）。你的任务是给定一个从当年第一天开始数的天数，输出从给定时间开始（不包括给定时间）下一次三个高峰落在同一天的时间（距给定时间的天数）。例如：给定时间为10，下次出现三个高峰同天的时间是12，则输出2（注意这里不是3）。

Input
输入四个整数：p, e, i和d。 p, e, i分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间（时间从当年的第一天开始计算）。d 是给定的时间，可能小于p, e, 或 i。 所有给定时间是非负的并且小于365, 所求的时间小于21252。
当p = e = i = d = -1时，输入数据结束。

Output
从给定时间起，下一次三个高峰同天的时间（距离给定时间的天数）。
采用以下格式：
Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days.
注意：即使结果是1天，也使用复数形式“days”。

Sample Input

0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
203 301 203 40
-1 -1 -1 -1

Sample Output

Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.
Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.
Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.
Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.
Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.
Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.

下面的题解转载于： 優YoU 文章链接，表示感谢！

已知(n+d)%23=p; (n+d)%28=e; (n+d)%33=i
使33×28×a被23除余1，用33×28×8=5544；
使23×33×b被28除余1，用23×33×19=14421；
使23×28×c被33除余1，用23×28×2=1288。
因此有（5544×p+14421×e+1288×i）% lcm(23,28,33) =n+d

又23、28、33互质，即lcm(23,28,33)= 21252;
所以有n=（5544×p+14421×e+1288×i-d）%21252

本题所求的是最小整数解，避免n为负，因此最后结果为n= [n+21252]% 21252 那么最终求解n的表达式就是：

n=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252;

当问题被转化为一条数学式子时，你会发现它无比简单。。。。直接输出结果了。

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转化为通式：
假设已知n%a1=b1,n%a2=b2,·······,n%ak=bk。
使a2 * a3 * ······ * ak * Z1 % a1 = 1，得Y1=a2 * a3 * ······ * ak * Z1
使a1 * a3 * ······ * ak * Z2 % a2 = 1，得Y2=a1 * a3 * ······ * ak * Z2
··· ···
··· ···
··· ···
使a1 * a2 * ······ * ak-1 * Zk % ak = 1，得Yk=a1 * a2 * ······ * ak-1 * Zk
因此得到n，n=（Y1×b1+Y2×b2+······+Yk×bk）% lcm(a1,a2,······,ak)