poj 1006 Biorhythms （中国剩余定理）

来源：互联网发布：海门java培训编辑：程序博客网时间：2024/06/04 18:10

摘录了一些讲解中国剩余定理的博客，感觉他们写的很好易懂。

看完这三篇对中国剩余定理应该也是能够对他有些了解了。

题目链接：点击打开链接

该题代码：

#include<cstdio>using namespace std;int a[4], m[4] = {23, 28, 33}, d;void ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y){    if(!b)    {        x = 1;        y = 0;        return ;    }    ex_gcd(b, a%b, y, x);    y -= (a/b)*x;}int CRT(void){    int M = 1, ans = 0;    for(int i = 0; i < 3; i++) M *= m[i];    for(int i = 0; i < 3; i++)    {        int Mi = M/m[i], x, y;        ex_gcd(Mi, m[i], x, y);        ans = (ans+a[i]*Mi*x)%M;    }    return ans;}int main(void){    int ca = 1;    while(scanf("%d%d%d%d", &a[0], &a[1], &a[2], &d), d >= 0)    {        a[0] %= m[0], a[1] %= m[1], a[2] %= m[2];        int ans = CRT()-d;        if(ans <= 0) ans += 21252;        printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", ca++, ans);    }    return 0;}

第一篇：点击打开链接

中国剩余定理（CRT）的表述如下

设正整数两两互素，则同余方程组

有整数解。并且在模下的解是唯一的，解为

其中，而为模的逆元。

代码：

[cpp] view plain copy
int CRT(int a[],int m[],int n)  
{  
    int M = 1;  
    int ans = 0;  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
        M *= m[i];  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
    {  
        int x, y;  
        int Mi = M / m[i];  
        extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);  
        ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;  
    }  
    if(ans < 0) ans += M;  
    return ans;  
}  

普通的中国剩余定理要求所有的互素，那么如果不互素呢，怎么求解同余方程组？

这种情况就采用两两合并的思想，假设要合并如下两个方程

那么得到

在利用扩展欧几里得算法解出的最小正整数解，再带入

得到后合并为一个方程的结果为

这样一直合并下去，最终可以求得同余方程组的解。

题目：http://poj.org/problem?id=2891

代码：

[cpp] view plain copy
#include <iostream>  
#include <string.h>  
#include <stdio.h>  
  
using namespace std;  
typedef long long LL;  
const int N = 1005;  
  
LL a[N], m[N];  
  
LL gcd(LL a,LL b)  
{  
    return b? gcd(b, a % b) : a;  
}  
  
void extend_Euclid(LL a, LL b, LL &x, LL &y)  
{  
    if(b == 0)  
    {  
        x = 1;  
        y = 0;  
        return;  
    }  
    extend_Euclid(b, a % b, x, y);  
    LL tmp = x;  
    x = y;  
    y = tmp - (a / b) * y;  
}  
  
LL Inv(LL a, LL b)  
{  
    LL d = gcd(a, b);  
    if(d != 1) return -1;  
    LL x, y;  
    extend_Euclid(a, b, x, y);  
    return (x % b + b) % b;  
}  
  
bool merge(LL a1, LL m1, LL a2, LL m2, LL &a3, LL &m3)  
{  
    LL d = gcd(m1, m2);  
    LL c = a2 - a1;  
    if(c % d) return false;  
    c = (c % m2 + m2) % m2;  
    m1 /= d;  
    m2 /= d;  
    c /= d;  
    c *= Inv(m1, m2);  
    c %= m2;  
    c *= m1 * d;  
    c += a1;  
    m3 = m1 * m2 * d;  
    a3 = (c % m3 + m3) % m3;  
    return true;  
}  
  
LL CRT(LL a[], LL m[], int n)  
{  
    LL a1 = a[1];  
    LL m1 = m[1];  
    for(int i=2; i<=n; i++)  
    {  
        LL a2 = a[i];  
        LL m2 = m[i];  
        LL m3, a3;  
        if(!merge(a1, m1, a2, m2, a3, m3))  
            return -1;  
        a1 = a3;  
        m1 = m3;  
    }  
    return (a1 % m1 + m1) % m1;  
}  
  
int main()  
{  
    int n;  
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)  
    {  
        for(int i=1; i<=n; i++)  
            scanf("%I64d%I64d",&m[i], &a[i]);  
        LL ans = CRT(a, m, n);  
        printf("%I64d\n",ans);  
    }  
    return 0;  
}  

第二篇：点击打开链接

中国剩余定理【孙子定理】详解：

其实就是解方程组：

求res的值
使用中国剩余定理的条件【重要！！！】：
n1，n2，n3……ni 这些数两两互质(互素)！！也就是两两之间的最大公约数是1！！

回到正题：先看一下这个视频，后面的会更好理解！
http://v.youku.com/v_show/id_XMTExNTAzOTIw.html

算法描述：【利用同余的加性和乘性】
令nn = n1×n2×n3×……×ni;
那么也就是说nn是ni的倍数！
所以有：nn/ni是其他n的倍数，不是ni的倍数，而且nn/ni跟ni没有大于1的公约数
【如nn/n2，是n1,n3,n4...的倍数，但不是n2的倍数，而且nn/n2和n2的最大公约数是1，因为上面说了这些数两两互质】
既然nn/ni是其他n的倍数，那么nn/ni这个数模其他n【n1,n2...n[i-1],n[i+1]...】的结果肯定是0，为下面利用同余的加性奠定了基础

所以根据视频那种方法
可以先找到x使得：

假设找到这个x了，那么要满足第i个方程，则利用同余的乘性必有：

那么就是res的一部分，它使得res满足第i个方程
所以利用同余的加性，把满足所有方程的这么一个部分加起来就是求出来的其中一组解了

怎么找x呢？【关键】
∵有重要条件：两两互质
∴nn/ni和ni也互质
∴【根据上述:使用中国剩余定理的条件】
∴由扩展的【欧几里得】得：

∴两边同时模ni得：

跟上面的式子对比，发现x = x0
x0怎么求？
不就是利用【扩展欧几里得定理】咯！

第三篇：点击打开链接

poj 1006 题的思路不是很难的，可以转化数学式：

现设 num 是下一个相同日子距离开始的天数

p，e，i，d 如题中所设！

那么就可以得到三个式子：( num + d ) % 23 == p； ( num + d ) % 28 == e； ( num + d ) % 33 == i；

p，e，i，d 是我们输入的，那么我们需要求出num即可，为了方便，我们将num+d暂时作为一个整体！令x = num + d；

即：x % 23 == p； x % 28 == e； x % 33 == i；求x

怎么办？这就涉及到所谓的 “ 中国剩余定理 ”( 概念自己google，很easy )

《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”答为“23”。

--------这个就是传说中的“中国剩余定理”。其实题目的意思就是，n % 3 = 2, n % 5 = 3, n % 7 = 2; 问n是多少？

那么他是怎么解决的呢？

看下面：

题目中涉及 3， 5，7三个互质的数、

令：5 * 7 * a % 3 = 1; --------------> a = 2; 即5 * 7 * 2 = 70；

3 * 7 * b % 5 = 1; --------------> b = 1; 即3 * 7 * 1 = 21；

3 * 5 * c % 7 = 1; --------------> c = 1; 即3 * 5 * 1 = 15；

为什么要使余数为1：是为了要求余数2的话，只要乘以2就可以，要求余数为3的话，只要乘以3就可以！

( 因为题目想要n % 3 =2, n % 5 =3, n % 7 =2; )

那么：要使得n % 3 = 2，那么（ 5 * 7 * 2 ）*2 % 3 = 2；( 因为5 * 7 * 2 % 3 = 1 )

同理：要使得n % 5 = 3，那么（ 3 * 7 * 1 ）*3 % 5 = 3；( 因为3 * 7 * 1 % 5 = 1 )

同理：要使得n % 7 = 2，那么（ 3 * 5 * 1 ）* 2 % 7 = 2；( 因为3 * 5 * 1 % 7 = 1 )

那么现在将（ 5 * 7 * 2 ）* 2和（ 3 * 7 * 1 ）* 3和（ 3 * 5 * 1 ）* 2相加会怎么样呢？我们知道

（ 5 * 7 * 2 ）* 2可以被5和7整除，但是%3等于2

（ 3 * 7 * 1 ）* 3可以被3和7整除，但是%5等于3

（ 3 * 5 * 1 ）* 2可以被3和5整除，但是%7等于2

那么即使相加后，%3， 5， 7的情况也还是一样的！

那么就得到一个我们暂时需要的数（ 5 * 7 * 2 ）* 2 +（ 3 * 7 * 1 ）* 3 +（ 3 * 5 * 1 ）* 2 = 233

但不是最小的!所有我们还要 233 % ( 3 * 5 * 7 ) == 23 得解！

/******************************************************************************************************************************************************/

// 以上就是算法解析，貌似讲的不是很清晰，哎，大家见谅咯~

现在看看此题：x % 23 == p； x % 28 == e； x % 33 == i；求x

按照以上算法：

使 33 * 28 * a % 23 = 1，得a = 6； 33 * 28 * 6 = 5544；

使23 * 33 * b % 28 = 1，得b = 19；23 * 33 * 19 = 14421；
使23 * 28 * c % 33 = 1，得c = 2； 23 * 28 * 2 = 1288。

那么x = 5544 * p + 14421 * e + 1288 * i

那么x-d即相差的时间天数！

因为有范围限制，那么(x-d) %= 21252；且如果此时<=0，那么(x-d) += 21252 ，以上都只是为了保证在范围内而已~

0 0