欧拉函数，筛法（最大公约数之和——极限版II，UVA 11426）

看到数据范围，大概就知道是O（nlogn）了。

然后一开始尝试用筛法来做，有一些细节没办法处理好，想要处理好至少要O(n^2logn)，还不如O（n^2）。

注意啊我的方法是错的，只是讲一下，别看。

我的方法就是ans[j]表示∑gcd(i,j)，i<j。

然后s[i]=s[i-1]+ans[i]。

s[n]就是答案。

怎么求ans[j]呢。就是用筛法。

因为 ans[j]=∑gcd(i,j)，i<j。

枚举i以及i的倍数j。这时gcd(i,j)=i。

然后ans[i]+=(j-i)/i*(i-f(i,j));

这个式子就是让每个gcd(i,j)都等于i，然后后面筛选时再部分修改。

f(i,j)就是不等于i的gcd(i,j)。表示之前错误的gcd(i,j)。

(i-f(i,j))的意思就是把错误的gcd(i,j)修改成i的修改值。

(j-i)/i就是有这么多错误的gcd。

相乘就是总的需要的修改值。更新一下ans[j]就好了。

这个方法只能得到一个近似的答案，因为每个错误的gcd(i,j)需要的修改值是不同的，不能用f(i,j)来代表全部，必须要O（n）枚举才能知道每个错误的gcd(i,j)的值。需要增加时间复杂度，这就超时了。然后就不知道该怎么处理了。

事实上我的思路应该更清晰一点的，在思考一道题的过程中会有非常多的想法，其中有很多错误的思路，虽然最后往往都能找对大方向，但是还像盲人摸象，思路太杂，互相干扰，最后在细节上失败。所以说如果有队友能一起讨论，那就能帮你缕清很多灰蒙蒙的地方，而有时候单单自己想会很迷。当然自己一定要学会自己独立解决问题，个人实力是队伍的尖刀，不要太依赖队友。

已经能想到用筛法以及求和了，不放把细节定义得更清楚一点，而不是觉得差不多是这个意思就好，否则就会进入迷的状态。

ans[j]=∑gcd(i,j)，i<j。直接算就是朴素算法，想要另辟蹊径就得重新分类然后求和。

不妨设i是j的因数，设g(i,j)表示小于j的数x中满足gcd(x,j)=i的x的个数。（感觉最近接触了很多这种状态定义的方法，一维表示小于，二维表示确定的值，状态转移也容易实现。）

那么就枚举因数i咯，ans[j]=∑i*g(i,j)，其中i是j的因数。

枚举因数时间复杂度是O（sqrt(j)），比O（j）好。

而g(i,j)该怎么求呢？状态转移方程不是那么好找。

我们应该学会发现一些特点，那就是j是i的倍数，而我们要找gcd(x,j)=i。那x肯定是i的倍数，其实就是找gcd(x/i,j/i)=1的x的个数，这不就是phi[j/i]吗。可以预处理然后O（1）求得。

然而还是不够快，但是关于枚举因数，我们可以用筛法来优化。

枚举因数i和它的倍数j，更新ans[j]就好了。

预处理O（nlogn）。

筛法O（nlogn）。

总时间复杂度O（nlogn）。

代码

#include<bits/stdc++.h>#define maxn 4000010using namespace std;typedef long long ll;ll phi[maxn];void phi_table(){    phi[1]=1;    for(ll i=2;i<=4000000;i++) if(!phi[i])        for(ll j=i;j<=4000000;j+=i)        {            if(!phi[j]) phi[j]=j;            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);        }}ll f[maxn];ll s[maxn];void init(){    for(ll i=1;i<=4000000;i++)        for(ll j=i+i;j<=4000000;j+=i)            f[j]+=i*phi[j/i];    for(ll i=1;i<=4000000;i++)        s[i]=s[i-1]+f[i];}int main(){    phi_table();    init();    ll N;    while(scanf("%I64d",&N)==1&&N)        printf("%I64d\n",s[N]);    return 0;}