最短路径——SPFA算法(蓝桥杯试题集)
来源:互联网 发布:node v6.11.1 x64.msi 编辑:程序博客网 时间:2024/05/29 16:15
*对于本题的floyd题解请跳转:http://blog.csdn.net/sm9sun/article/details/53285870
题目链接:
http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T15
问题描述
给定一个n个顶点,m条边的有向图(其中某些边权可能为负,但保证没有负环)。请你计算从1号点到其他点的最短路(顶点从1到n编号)。
输入格式
第一行两个整数n, m。
接下来的m行,每行有三个整数u, v, l,表示u到v有一条长度为l的边。
输出格式
共n-1行,第i行表示1号点到i+1号点的最短路。
样例输入
3 3
1 2 -1
2 3 -1
3 1 2
样例输出
-1
-2
数据规模与约定
对于10%的数据,n = 2,m = 2。
对于30%的数据,n <= 5,m <= 10。
对于100%的数据,1 <= n <= 20000,1 <= m <= 200000,-10000 <= l <= 10000,保证从任意顶点都能到达其他所有顶点。
解题思路:
首先介绍一下SPFA算法
定义:我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值,用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法:设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点,优化时每次取出队首结点u,并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作,如果v点的最短路径估计值有所调整,且v点不在当前的队列中,就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作,直至队列空为止。期望的时间复杂度O(ke), 其中k为所有顶点进队的平均次数,可以证明k一般小于等于2。
具体实现操作:首先,我们建立一个队列,初始时队列里只有起始点,然后再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径(该表格的初始值要赋为极大值,该点到他本身的路径赋为0)。然后执行松弛操作,用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路,如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。
判断有无负环:如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)
我们先找一个图,例如这篇博客里的http://blog.csdn.net/muxidreamtohit/article/details/7894298
我们把他转化成矩阵
首先,a点作为起点,把与其相连的节点以此进行松弛操作024815MMM
然后,其三个点入队,我们看到,这里是不分优先顺序的
首先是b,然后对其相连的节点进行松弛操作
02481530MM此时路径表里e点发生了变化,e原不在队列中,于是我们入队
然后轮到c点了,c点进行松弛操作
0248151511Mf入队,d点松弛操作024815151119然后e点出队我们发现,e点只有g一条变且aeg并没有ag优
所以松弛不成功,那我们就不需要入队新节点
然后接着f出队,我们发现afe(11+2)要小于ae(15)以及afg(11+3)小于ag(19)
那么进行松弛,同时e需要再入一次堆,g点此时存在于队列,就不用入了。
024815131119然后g出队,优化了b,于是b在入队
017815131119e再出队,然后b出队,直至队列为空
也就是说,我们每松弛一个节点,就需要将被优化的节点重新入队再计算一次。所以SPFA算法期望的时间复杂度O(ke), 其中k为所有顶点进队的平均次数,可以证明k一般小于等于2。
本题代码:
#include<stdio.h>#include<string.h>#include<queue>#include<algorithm> #define inf 0xFFFFFFFusing namespace std;struct a{ int u,v,l,next;} e[400010];int head[200010];int dis[200010];int vis[200010];int cnt[200010];void list(int u,int v,int l,int i){ e[i].u=u;e[i].v=v;e[i].l=l;e[i].next=head[u];head[u]=i;}int relax(int u,int v,int c) //路径松弛 { if(dis[v]>dis[u]+c) { dis[v]=dis[u]+c; return 1; } return 0;}int SPFA(int s) //SPFA算法 { int i; memset(cnt,0,sizeof(cnt)); dis[s]=0; queue<int>Q; Q.push(s); vis[s]=1; cnt[s]++; while(!Q.empty()) { int u,v; u=Q.front(); Q.pop(); vis[u]=0; for(i=head[u];i!=-1;i=e[i].next) { v=e[i].v; if(relax(u,v,e[i].l)==1&&!vis[v]) { Q.push(v); vis[v]=1; } } }}int main(){ int t,n,m; int i,j; while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { memset(e,-1,sizeof(e)); for(i=1;i<=n;i++) { dis[i]=inf; vis[i]=0; head[i]=-1; } for(i=1;i<=m;i++) { int u,v,l; scanf("%d%d%d",&u,&v,&l); list(u,v,l,i); } SPFA(1); for(i=2;i<=n;i++) printf("%d\n",dis[i]); } return 0;}
我们看一下运行的效率
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