人工压缩算法--定常原始变量不可压缩N-S方程

流体从非稳态到稳态的变化过程，这种非定常流动和定常流动的转化，实际上是方程类型的改变。人工压缩算法就是通过改变方程类型来求解不可压缩粘性流动的方法。

人工压缩算法的基本思路

人工压缩算法基本思路为：如果定常不可压缩粘性流动 N-S 方程组中添加一项时间导数项 ∂∂t ，就可以转化为一种虚拟的非定常可压缩粘性流动 N-S 方程组。如果在 t→∞ 时，能够保证 ∂∂t→0 ，则非定常可压缩粘性流动逼近定常不可压缩粘性流动。其矢量形式的表达式如下

(v⋅∇)v+∇p∇⋅v==1Re∇2v0

为了将定常的N-S方程组进行转化，需要在定常的N-S方程组中加入一项对时间的导数项∂∂t。很明显，在动量方程中可以加入∂v∂t项。在连续方程中应该加入什么形式的∂∂t项呢？在连续方程中添加∂ρ∂t是可以的，但是，在不可压缩粘性流动中密度 ρ 是常数。也可以添加∂v∂t，但是，这样流动速度 v 和压力 p 就解耦，方程组无法直接求解压力 p。因此，自然会想到在连续方程中直接引∂p∂t项。加入时间导数项立后，人工压缩算法的N-S方程组为：

∂v∂t+(v⋅∇)v∂p∂t+c2∇⋅v==−∇(pρ)+1Re∇2v0

把它和非定常可压缩粘性流动N-S方程组比较，可以发现，动量方程是完全相同的， 但连续方程却是不同的。非定常可压缩粘性流动的连续方程为：

∂ρ∂t+∇⋅(ρv)=0

其中，在等熵流动中压力和密度存在以下等熵关系（实际上反映了非定常可压缩秸性流动中压力p和密度ρ之间的关系。因此，它可以近似地认为是等熵流动的状态方程。）

p=c2ρ

其中，c 是可压缩粘性流动声速。代入连续性方程后可得

∂p∂t+c2∇⋅(ρv)=0

由于 ρ 和 c2 均是常数，对于求解不可压缩粘性方程组时，其压力值 p 实际上是压力和密度的比值pρ 。此外，如何选取参数 c2 是人工压缩算法的关键。

这个思想还真是巧妙！

物理的世界是有趣的
数学的思想是奇妙的

1. Chorin A J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems[J]. Journal of computational physics, 1967, 2(1): 12-26.
2. 张德良. 计算流体力学教程[M]. 高等教育出版社, 2010.