矩阵基本概念

1. 向量（Vector）

      在几乎所有的几何问题中，向量（有时也称矢量）是一个基本点。向量的定义包含方向和一个数（长度）。在二维空间中，一个向量可以用一对x和y来表示。例如由点（1,3）到（5,1的向量可以用(4,-2）来表示。这里大家要特别注意，我这样说并不代表向量定义了起点和终点。向量仅仅定义方向和长度。

1.1 向量的长度

1.2 向量的夹角

2. 点乘（Dot Product）/点积/内积

    

     点乘比较简单，是相应元素的乘积的和：
      V1( x1, y1)   V2(x2, y2) = x1*x2 + y1*y2
      注意结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar）。点乘有什么用呢，我们有：

      A·B = |A||B|Cos(θ)
      θ是向量A和向量B见的夹角。这里|A|我们称为向量A的模(norm)，也就是A的长度， 在二维空间中就是|A| = sqrt(x^2+y^2)。这样我们就和容易计算两条线的夹角：    Cos(θ) = A·B /(|A||B|)

      当然你知道要用一下反余弦函数acos()啦。（回忆一下cos(90)=0 和cos(0) = 1还是有好处的，希望你没有忘记。）这可以告诉我们如果点乘的结果，简称点积，为0的话就表示这两个向量垂直。当两向量平行时，点积有最大值
      另外，点乘运算不仅限于2维空间，他可以推广到任意维空间。（译注：不少人对量子力学中的高维空间无法理解，其实如果你不要试图在视觉上想象高维空间，而仅仅把它看成三维空间在数学上的推广，那么就好理解了）

     因为向量的点乘满足分配率：a·(b+c)=a·b+a·c 

     c = a - b 
     c·c = (a -b)·(a - b) 

     c·c = (a·a - 2a·b + b·b)

     跟据这个公式，我们能拿到两个向量之间的夹角，这对于判断两个向量是否同一方向，是否正交(也就是垂直)，很有用处。具体判断如下： 
     1) a·b>0    方向基本相同，夹角在0°到90°之间 

     2) a·b=0    正交 
     3) a·b<0    方向基本相反，夹角在90°到180°之间

3. 叉乘（Cross Product）/叉积/外积

      与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量的和垂直。

      相对于点乘，叉乘可能更有用吧。2维空间中的叉乘是：
      V1(x1, y1) X V2(x2, y2) = x1y2 – y1x2
      看起来像个标量，事实上叉乘的结果是个向量，方向在z轴上。上述结果是它的模。在二维空间里，让我们暂时忽略它的方向，将结果看成一个向量，那么这个结果类似于上述的点积，我们有：
    A x B = |A||B|Sin(θ)

      然而角度 θ和上面点乘的角度有一点点不同，他是有正负的，是指从A到B的角度。因此 ，向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a在物理学中，已知力与力臂求外积，就是向量的外积，即叉乘。

几何意义 :

    叉积的长度 |a×b| 可以解释成以a和b为邻边的平行四边形的面积。
          混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。
      代数规则 : 
         反交换律：
            a×b= -b×a
         加法的分配律：
            a× (b+c) =a×b+a×c
      与标量乘法兼容：
          (ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
      不满足结合律，但满足雅可比恒等式：
          a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
      分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。
          两个非零向量 a 和b 平行，当且仅当a×b=0

拉格朗日公式
      这是一个著名的公式，而且非常有用：
         a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),

      向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断。判断方法如下：

1.右手手掌张开，四指并拢，大拇指垂直于四指指向的方向；

2.伸出右手，四指弯曲，四指与A旋转到B方向一致，那么大拇指指向为C向量的方向。

在3维几何中，我们可以一眼看出来，叉乘的结果也是一个向量，而且这个向量不是一般的向量，而是大名鼎鼎的"法向量"，3D技术中法向量有多重要我就不吹了，反正是个VIP概念。 
      在2维集合中，axb等于由向量组成的平行四边形的面积（证明很简单，你们可以自己试着证明）   

总之：向量的叉积最重要的应用就是创建垂直于平面，三角形，或者多边形的向量。

4. 正交向量(Orthonormal Vectors)

    如果两个或多个向量，它们的点积为0，那么它们互相称为正交向量。在二维或三维的欧几里得空间中，两个或三个向量两两成90°角时，它们互为正交向量。正交向量的集合称为正交向量组。

5. 正交矩阵（Orthogonal Matrix)

如果：AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”。）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵， 若A为正交阵，则满足以下条件:

1) AT是正交矩阵

2)

  

（E为单位矩阵）

3) A的各行是单位向量且两两正交

4) A的各列是单位向量且两两正交

5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R

6) |A| = 1或-1

正交矩阵通常用字母Q表示。

举例：A=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]

则有：r11^2+r21^2+r31^2=r12^2+r22^2+r32^2=r13^2+r23^2+r33^2=1

r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性质

若A是正交矩阵则A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基【即线性不相关】

2. 正交矩阵（Orthogonal Matrix)