Fibonacci数列的生成（4种方式）

1. 定义

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）。

2. 编程实现及算法分析

要求：编写程序在控制台输出斐波那契数列前20项，每输出5个数换行。

方法1（递归调用）

此种方式缺点：大量迭代不断消耗栈空间(搞web开发调试维护的都应该知道服务器栈资源的可贵，如果大量并发调用迭代导致服务器栈资源迟迟得不到回收，而导致web服务器崩溃)，效率底，函数自闭性比较弱(优秀的接口应该对输入输出可能出现的错误信息进行捕捉，并提供清楚明了的处理结果)，很容易出现错误，调试困难，实际应用中一般不建议使用这种方式，使用时迭代次数也不能超过3次；

方法2(直接用递推公式计算各项值，时间换空间)：

方法3（方法2的改进，减少存储变量）：

方法2和方法3主要使用于:使用场景一：对于对象或变量使用次数比较少，使用一次以后就不会再使用的场景；使用场景二：对于内存资源比较稀缺的实时性要求不是太高的嵌入式系统设计中多会采用此种方式；

方法4（空间换时间）

此方法一般用于：对象或变量在程序运行的整个生命周期都存在或频繁调用的场景，如调用外部WebService接口、抽象持续化层、常用配置文件参数加载等等。

运行结果：

斐波那契数列的前20项为：

0 1 1 2 3

5 8 13 21 34

55 89 144 233 377

610 987 1597 2584 4181

Total time in Fibonaccil_3 : 2 ms

斐波那契数列前20项为：

0 1 1 2 3

5 8 13 21 34

55 89 144 233 377

610 987 1597 2584 4181

Total time in Fibonaccil_1 : 1 ms

0 1 1 2 3

5 8 13 21 34

55 89 144 233 377

610 987 1597 2584 4181

Total time in Fibonaccil_2 : 1 ms

斐波那契数列的前20项如下所示：

0 1 1 2 3

5 8 13 21 34

55 89 144 233 377

610 987 1597 2584 4181

Total time in Fibonaccil_4 : 0 ms

3. 相关数学

1、排列组合

有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?

这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……

1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。

类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？

答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) - [(1-√5)/2]^(10+2)}=144种。

求递推数列a⑴=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通项公式

由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。

2、兔子繁殖问题

斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：

第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对

两个月后，生下一对小兔对数共有两对

三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对

－－－－－－

依次类推可以列出下表：

经过月数0123456789101112幼仔对数101123581321345589成兔对数01123581321345589144总体对数1123581321345589144233

幼仔对数=前月成兔对数

成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数

总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数

可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1）的性质外，还可以证明通项公式为：an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）

3、数列与矩阵

对于斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、……。有如下定义

F(n)=F(n-1)+F(n-2)

F(1)=1

F(2)=1

对于以下矩阵乘法

F(n)=F(n-1)+F(n-2)

F(n-1)=F(n-1)

可见该矩阵的乘法完全符合斐波那契数列的定义

设矩阵

迭代n-1次可以得到：

求F(n)等于求二阶矩阵A的n - 1次方，结果取矩阵第一行第一列的元素。

这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义。

另矩阵乘法的一个运算法则A^n(n为偶数) = A^(n/2)* A^(n/2)，这样我们通过二分的思想，可以实现对数复杂度的矩阵相乘。

因此可以用递归的方法求得答案。

数列值的另一种求法：

F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]

其中[ x ]表示取距离 x 最近的整数。