七种方式求斐波那契（Fibonacci）数列通项

一：递归实现
 　　使用公式f[n]=f[n-1]+f[n-2]，依次递归计算，递归结束条件是f[1]=1，f[2]=1。
二：数组实现
 　　空间复杂度和时间复杂度都是0(n)，效率一般，比递归来得快。
三：vector<int>实现
 　　时间复杂度是0(n)，时间复杂度是0(1)，就是不知道vector的效率高不高，当然vector有自己的属性会占用资源。
四：queue<int>实现
 　　当然队列比数组更适合实现斐波那契数列，时间复杂度和空间复杂度和vector<int>一样，但队列太适合这里了，
 　　f(n)=f(n-1)+f(n-2)，f(n)只和f(n-1)和f(n-2)有关，f(n)入队列后，f(n-2)就可以出队列了。
五：迭代实现
 　　迭代实现是最高效的，时间复杂度是0(n)，空间复杂度是0(1)。
六：公式实现
　　 百度的时候，发现原来斐波那契数列有公式的，所以可以使用公式来计算的。

          由于double类型的精度还不够，所以程序算出来的结果会有误差，如果把公式展开计算，得出的结果就是正确的。

          完整的实现代码如下：

#include "iostream"#include "queue"#include "cmath"using namespace std;int fib1(int index)     //递归实现{if(index<1){return -1;}if(index==1 || index==2)return 1;return fib1(index-1)+fib1(index-2);}int fib2(int index)     //数组实现{if(index<1){return -1;}if(index<3){return 1;}int *a=new int[index];a[0]=a[1]=1;for(int i=2;i<index;i++)a[i]=a[i-1]+a[i-2];int m=a[index-1];delete a;         //释放内存空间return m;}int fib3(int index)           //借用vector<int>实现{if(index<1){return -1;}vector<int> a(2,1);      //创建一个含有2个元素都为1的向量a.reserve(3);for(int i=2;i<index;i++){a.insert(a.begin(),a.at(0)+a.at(1));a.pop_back();}return a.at(0);} int fib4(int index)       //队列实现{if(index<1){return -1;}queue<int>q;q.push(1);q.push(1);for(int i=2;i<index;i++){q.push(q.front()+q.back());q.pop();}return q.back();}int fib5(int n)          //迭代实现{int i,a=1,b=1,c=1;if(n<1){return -1;}for(i=2;i<n;i++){c=a+b;     //辗转相加法（类似于求最大公约数的辗转相除法）a=b;b=c;}return c;}int fib6(int n){double gh5=sqrt((double)5);return (pow((1+gh5),n)-pow((1-gh5),n))/(pow((double)2,n)*gh5);} int main(void){printf("%d\n",fib3(6));system("pause");return 0;}

七：二分矩阵方法

如上图，Fibonacci 数列中任何一项可以用矩阵幂算出，而n次幂是可以在logn的时间内算出的。
下面贴出代码：

void multiply(int c[2][2],int a[2][2],int b[2][2],int mod){int tmp[4];tmp[0]=a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0];tmp[1]=a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1];tmp[2]=a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0];tmp[3]=a[1][0]*b[0][1]+a[1][1]*b[1][1];c[0][0]=tmp[0]%mod;c[0][1]=tmp[1]%mod;c[1][0]=tmp[2]%mod;c[1][1]=tmp[3]%mod;}//计算矩阵乘法，c=a*bint fibonacci(int n,int mod)//mod表示数字太大时需要模的数{if(n==0)return 0;else if(n<=2)return 1;//这里表示第0项为0，第1，2项为1int a[2][2]={{1,1},{1,0}};int result[2][2]={{1,0},{0,1}};//初始化为单位矩阵int s;n-=2;while(n>0){if(n%2 == 1)multiply(result,result,a,mod);multiply(a,a,a,mod);n /= 2;}//二分法求矩阵幂s=(result[0][0]+result[0][1])%mod;//结果return s;}

附带的再贴上二分法计算a的n次方函数。

int pow(int a,int n){int ans=1;while(n){if(n&1)ans*=a;a*=a;n>>=1;}return ans;}