莫比乌斯反演

莫比乌斯函数定义

μ(n)={(−1)m0,,p1,p2...pm=1∃k|pk>1

性质1（积性函数）

μ(ab)=μ(a)∗μ(b)|gcd(a,b)=1

性质2

∑d|nμ(d)=0(n>1)
证明:
设d=Πmi=1aipi
当∃k|pk>1时μ(d)=0无需考虑
相当于n分解的因数选或不选求μ的和的问题
所以∑d|nμ(d)=∑mk=0Ckm(−1)k
根据二项式定理(a+b)n=∑nk=0Cknakbn−k
把a=−1,b=1代入得∑d|nμ(d)=(1−1)m=0
特别的n=1时原式=μ(1)=1
证毕

另外的性质

∑d|nϕ(d)=n
证明:
令S={rn|r=1,2...n}
则|S|=n
设rn最简形式为cd
则|S|=∑d|n[gcd(c,d)=1]
即|S|=∑d|nϕ(d)
证毕

莫比乌斯反演

若g(n)=∑d|nf(d)
则f(n)=∑d|nμ(d)g(nd)

证明:
∑d|nμ(d)∑d′|ndf(d′)
=∑dd′|nμ(d)f(d′)
=∑d|nf(d)∑d′|ndμ(d′)
由函数性质2可得
当且仅当n/d=1时即n=d时∑d′|ndμ(d′)=1
否则∑d′|ndμ(d′)=0
所以原式=f(n)

推论

若g(n)=∑n|df(d)
则f(n)=∑n|dμ(dn)g(d)
证明:
∑n|dμ(dn)g(d)
=∑n|dμ(dn)∑d|d′f(d′)
=∑n|d′f(d′)∑n|d|d′μ(dn)
=∑n|d′f(d′)∑k|d′nμ(k)
由函数性质2得d’=n时才有效
=f(n)

例题1

求i=1..n, j=1..m中gcd(i,j)=1的个数
f(k)=∑ni=1∑mj=1[gcd(i,j)=k]
g(k)=∑ni=1∑mj=1[k|gcd(i,j)]
则g(k)=∑k|df(d)
f(k)=∑k|dμ(dk)g(d)
=∑k|dμ(dk)⌊nd⌋⌊md⌋
=∑⌊min(n,m)k⌋p=1μ(p)⌊⌊nk⌋p⌋⌊⌊mk⌋p⌋
p=dk

扩展

∑ni=1∑mj=1[gcd(i,j)=prime]
=∑np=1is[p]∑⌊np⌋i=1∑⌊mp⌋j=1[gcd(i,j)=1]
=∑np=1is[p]∑⌊np⌋i=1∑⌊mp⌋j=1∑d|i,d|jμ(d) 注:d|i,d|j等价于d|gcd(i,j)
=∑np=1is[p]∑⌊np⌋d=1μ(d)⌊npd⌋⌊mpd⌋
=∑nk=1g(k)⌊nk⌋⌊mk⌋
g(k)=∑p|kis[p]μ(kp)
可知g(p′k)=∑p|kp′is[p]μ(kp′p)
①当p’|k时

g(p′k)={μ(k)0,p=p′,p!=p′

所以g(p′k)=μ(k)
②当p′/|k时

g(p′k)=⎧⎩⎨⎪⎪μ(k)−μ(kp),p=p′,p!=p′

p!=p′部分的求和就是g(k)
所以g(p′k)=μ(k)−g(k)

%%zwl大神