把正整数n表示成若干个正整数的和，求积的最大值

题目：把正整数n表示成若干个正整数的和，求积的最大值

例如：当n=4时，有4种拆分方法

4=4

4=1+3，1*3=3

4=2+2，2*2=4

4=1+1+2,1*1*2=2

所以积的最大值为4

名词定义：

n的最大分解：满足积最大的分解，比如4的最大分解为4=2*2，最大分解可能不唯一，例如4的最大分解有2种

求解的准备工作：

定理一：如果n>1，那么n的最大分解中，1是不可能出现的

证明：如果n>1且最大分解中出现了1，那么至少还会出现一个整数m，

用m+1替换m和1，那么积会变大，与最大分解的定义矛盾！

定理二：n的最大分解中不可能出现大于4的数

证明：如果最大分解中出现了大于4的数，假设为m

用m-2和2替换m，那么（m-2）*2=m+m-4>m，即积变大，与最大分解的定义矛盾！

定理三：n的所有最大分解中，一定有一种是没有出现4的

证明：假设出现了4，用2和2替换4，积不变

对所有的4都进行这样的变换，乘积仍然不变。

例如将15=4+4+4+3替换成15=2+2+2+2+2+2+3，乘积4*4*4*3=2*2*2*2*2*2*3=192

这样，一定有一种最大分解是没有出现4的

定理四：如果n>1，那么一定有一个最大分解，可以表示成n2个2和n3个3，即n=n2*2+n3*3，其中n2=0或1或2，n3是非负整数

证明：根据定理一、定理二、定理三，一定有一个最大分解，只由若干个2和若干个3组成（若干个可能是0个）

假设最大分解表示成n2个2和n3个3，如果n2>2，那么至少有3个2

用3,3替换2,2,2，乘积变大，与最大分解的定义矛盾！

所以n2=0或1或2，n3是非负整数

问题的求解：

如果n=1，不需要再分解

如果n>1，根据定理四，可以表示成n=n2*2+n3*3

那么n%3的值可以表示成n%3=（n2*2+n3*3）%3=（n2*2）%3

所以n2=（3-n%3）%3

所以，当n%3=0时，n2=0，当n%3=1时，n2=2，当n%3=2时，n2=1

所以，n的一个最大分解是n2个2和（n-n2*2）/3个3，其中n2=（3-n%3）%3

另解：

如果n=1，不需要再分解

如果n>1，n的一个最大分解是1个k和（n-k）/3个3，其中k=（n-2）%3+2

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