[机器学习]信息熵、信息增益的概念

信息熵

信息熵 表示 随机变量 的 不确定性。

不确定性越大(即所谓的信息量越大)，信息熵越大。

信息可不可以量化？

首先从直觉上来讲，是可以的。不然我们怎么觉得有的人废话特别多，却没什么信息量；而有的人一语中的，一句话就传达了很大的信息量。

为什么有的信息大，有的信息小？

有些事情本来不是很确定：例如 明天股票是涨是跌；

1）“明天NBA决赛开始了“，和“股票跌涨“没关系，所以“明天NBA决赛开始了“对“股票跌涨“带来的信息量很小。
2）但是 “明天NBA决赛开始了“，“大家都不关注股票了，没人坐庄有99％的股都会下跌“，这句话对“对票跌涨“带来的信息量很大。因为它使本来不确定的事情变得十分确定。

而有些事情本来就很确定：例如每天太阳从东方升起；

你再告诉我一百遍，这句话还是没有信息量的。
因为这件事情不能更确定了

所以说信息量的大小跟事情的不确定性有关。

那么，不确定性的变化跟什么有关呢？

1. 跟事情的可能结果的数量有关

例如我们讨论太阳从哪升起。本来就只有一个结果，我们早就知道，那么无论谁传递任何信息都是没有信息量的。
当可能结果数量比较大时，我们得到的新信息才有潜力拥有大信息量。

2. 跟概率有关。

单看可能结果数量不够，还要看初始的概率分布。例如一开始我就知道小明在电影院的有15*15个座位的A厅看电影。小明可以坐的位置有225个，可能结果数量算多了。可是假如我们一开始就知道小明坐在第一排的最左边的可能是99%，坐其它位置的可能性微乎其微，那么在大多数情况下，你再告诉我小明的什么信息也没有多大用，因为我们几乎确定小明坐第一排的最左边了。

那么，怎么衡量不确定性的变化的大小呢？怎么定义呢？
这个问题不好回答，但是假设我们已经知道这个量已经存在了，不妨就叫做信息量

那么你觉得信息量起码该满足些什么特点呢？

一，起码 不是个负数 吧

不然说句话还偷走信息呢~

二，起码 信息量 和 信息量 之间可以 相加 吧！

假如你告诉我的第一句话的信息量是3，在第一句话的基础上又告诉我一句话，额外信息量是4，那么两句话信息量加起来应该等于7吧！难道还能是5是9？

三，信息量是连续依赖于概率

刚刚已经提过，信息量跟概率有关系，但我们应该会觉得，信息量是连续依赖于概率的吧！
就是说，某一个概率变化了0.0000001，那么这个信息量不应该变化很大。

四，新信息有更大的潜力具有更大的信息量

刚刚也提过，信息量大小跟可能结果数量有关。假如每一个可能的结果出现的概率一样，那么对于可能结果数量多的那个事件，新信息有更大的潜力具有更大的信息量，因为初始状态下不确定性更大。

那有什么函数能满足上面四个条件呢？

负的对数函数，也就是-log（x）！
底数取大于1的数保证这个函数是非负的就行。前面再随便乘个正常数也行。
a. 为什么不是正的？因为假如是正的，由于x是小于等于1的数，log（x）就小于等于0了。第一个特点满足。
b. 咱们再来验证一下其他特点。三是最容易的。假如x是一个概率，那么log（x）是连续依赖于x的。done
c。四呢？假如有n个可能结果，那么出现任意一个的概率是1/n，而-log(1/n)是n的增函数，没问题。
d。最后验证二。由于-log(xy) = -log(x) -log(y)，所以也是对的。学数学的同学注意，这里的y可以是给定x的条件概率，当然也可以独立于x。

By the way，这个函数是唯一的（除了还可以多乘上任意一个常数），有时间可以自己证明一下，或者查书。

ok，所以我们知道一个事件的信息量就是这个事件发生的概率的负对数。

最后终于能回到信息熵。信息熵是跟所有可能性有关系的。每个可能事件的发生都有个概率。信息熵就是平均而言发生一个事件我们得到的信息量大小。所以数学上，信息熵其实是信息量的期望。（表达式参考其它答案或者看下面）

至于为什么用“熵”这个怪字？大概是当时翻译的人觉得这个量跟热力学的熵有关系，所以就用了这个字，君不见字里头的火字旁？

而热力学为什么用这个字？这个真心不知道。。。

信息增益

熵：表示随机变量的不确定性。

条件熵：在一个条件下，随机变量的不确定性。

信息增益：熵 - 条件熵

在一个条件下，信息不确定性减少的程度！

通俗地讲，X(明天下雨)是一个随机变量，X的熵可以算出来， Y(明天阴天)也是随机变量，在阴天情况下下雨的信息熵我们如果也知道的话（此处需要知道其联合概率分布或是通过数据估计）即是条件熵。

两者相减就是信息增益！原来明天下雨例如信息熵是2，条件熵是0.01（因为如果是阴天就下雨的概率很大，信息就少了），这样相减后为1.99，在获得阴天这个信息后，下雨信息不确定性减少了1.99！是很多的！所以信息增益大！也就是说，阴天这个信息对下雨来说是很重要的！

所以在特征选择的时候常常用信息增益，如果IG（信息增益大）的话那么这个特征对于分类来说很关键~~ 决策树就是这样来找特征的！

参考

感谢知乎的朋友[滴水]、[Kay Zhou]

参考链接
https://www.zhihu.com/question/22178202/answer/49929786
https://www.zhihu.com/question/22104055