辗转相除法

来源：互联网发布：景区票务软件编辑：程序博客网时间：2024/05/27 19:27

　　辗转相除法是一种很古老求两正整数最大公约数的算法，据传出自欧几里得的《几何原本》一书，可以追溯至公元前300年前。这也意味着，这一算法在2000多年后依然在流传，被使用。之前学习希尔排序的时候，还感叹这已横跨半世纪的算法依然生命力旺盛。现在又了解了这两千多年前的算法，感觉还是有点惊异的。
　　
　　　　　　　　这里写图片描述
　　
　　在辗转相除法里，两个正整数m和n，他们的最大公约数等于其中较大数除以较小数的余数与m, n之中的较小数的最大公约数。听着有点绕。假如要求18和30这两个数的最大公约数，那么，就是求12(30除以18余12)和18(18和30中的较小数)的最大公约数，然后可以递归下去。
　　那么，如何证明呢？　

已知m>n, m ÷ n = a……bc = gcd(m,n)，d = gcd(n,b)证明：c = d1.设　m = k1*c，n = k2*c   #k1和k2均为正整数则　b = m-na = (k1-k2*a)c那么 n、b有公约数c          #n = k2*c又 d = gcb(n,b)           #d是n和b的最大公约数所以 c ≤ d2.设 n = k3*d，b = k4*d   #d是n和b的最大公约数则　m = na+b = (k3*a+k4)*d那么　m、n有公约数d         #b = k4*d又　c = gcb(m,n)          #c是m和n的最大公约数所以　d ≤ c由于 c ≤ d 且 d ≤ c，故 d = c，即gcd(m, n) = gcd(n, b)

下面用C语言实现这个算法。

int t = 0;int gcd(int m, int n) {    t = m > n ? n: m;    m = m > n ? m: n;    n = t;    if (m % n == 0)        return n;    return gcd(m % n, n);}

下面用python实现。

def gcd(m, n):    m, n = (m, n) if m > n else (n, m)    if m % n == 0:        return n    return gcd(m % n, n)

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