最短路径基本介绍(3)--Bellman-Ford算法(单源最短路径算法,可求负权)

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Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。

这时候，就需要使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）发明。

适用条件&范围：

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

差分约束系统;

Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；

以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。 

测试代码如下：（下面为有向图的Bellman-Ford算法。。。。。）

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;#define MAX 0x3f3f3f3f#define N 1010int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点typedef struct Edge //边{int u, v;int cost;}Edge;Edge edge[N];int dis[N], pre[N];bool Bellman_Ford(){for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）{dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;pre[edge[j].v] = edge[j].u;}bool flag = 1; //判断是否含有负权回路for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost){flag = 0;break;}return flag;}void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向）{while(root != pre[root]) //前驱{printf("%d-->", root);root = pre[root];}if(root == pre[root])printf("%d\n", root);}int main(){scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);pre[original] = original;for(int i = 1; i <= edgenum; ++i){scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);}if(Bellman_Ford())for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路{printf("%d\n", dis[i]);printf("Path:");print_path(i);}elseprintf("have negative circle\n");return 0;}

测试数据：

4 6 1
1 2 20
1 3 5
4 1 -200
2 4 4
4 2 4
3 4 2

和：

4 6 1
1 2 2
1 3 5
4 1 10
2 4 4
4 2 4
3 4 2

另：Dijkstra和Bellman-Ford算法对比：

• Dijkstra 
  dijkstra算法本质上算是贪心的思想，每次在剩余节点中找到离起点最近的节点放到队列中，并用来更新剩下的节点的距离，再将它标记上表示以后已经找到到它的最短路径，以后不用更新它了。这样做的原因是到一个节点的最短路径必然会经过比它离起点更近的节点，而如果一个节点的当前距离值比任何剩余节点都小，那么当前的距离值一定是最小的。（剩余节点的距离值只能用当前剩余节点来更新，因为求出了最短路的节点之前已经更新过了） 
  dijkstra就是这样不断从剩余节点中拿出一个可以确定最短路径的节点最终求得从起点到每个节点的最短距离。

• Bellman-Ford 
  bellman-ford算法进行n-1次更新（一次更新是指用所有节点进行一次松弛操作）来找到到所有节点的单源最短路。bellman-ford算法和dijkstra其实有点相似，该算法能够保证每更新一次都能确定一个节点的最短路，但与dijkstra不同的是，并不知道是那个节点的最短路被确定了，只是知道比上次多确定一个，这样进行n-1次更新后所有节点的最短路都确定了（源点的距离本来就是确定的）。 
  现在来说明为什么每次更新都能多找到一个能确定最短路的节点：

1.将所有节点分为两类：已知最短距离的节点和剩余节点。

2.这两类节点满足这样的性质：已知最短距离的节点的最短距离值都比剩余节点的最短路值小。（这一点也和dijkstra一样）

3.有了上面两点说明，易知到剩余节点的路径一定会经过已知节点

4.而从已知节点连到剩余节点的所有边中的最小的那个边，这条边所更新后的剩余节点就一定是确定的最短距离，从而就多找到了一个能确定最短距离的节点，不用知道它到底是哪个节点。

bellman-ford的一个优势是可以用来判断是否存在负环，在不存在负环的情况下，进行了n-1次所有边的更新操作后每个节点的最短距离都确定了，再用所有边去更新一次不会改变结果。而如果存在负环，最后再更新一次会改变结果。原因是之前是假定了起点的最短距离是确定的并且是最短的，而又负环的情况下这个假设不再成立。