对RMQ的理解

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，即：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。如：数列 2,4,5,6,8,7,9,10,1,3共10个数，求下标0到下标7的最大（最小）值，那最容易想到的是遍历这个数列，找出值，其时间复杂度为O(n)。但当数据量非常大且查询很频繁时，该算法无法在有效的时间内查询出正解。因此，可以用一种比较高效的在线算法（ST算法）来解决这个问题。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。下面，我将详细说下自己对该算法的理解。

（一）首先是预处理，用动态规划（DP）解决。

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

如数列 2,4,5,6,8,7,9,10,1,3

F[0,1]表示从下标0开始，2个元素的最大值，则F[0,1]=max(2,4)=4,F[1,2]=max(4,5,6,8)=8,而F[0,0]=max(2)=2,F[1,0]=4。因此F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）

这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明，当i=2，j=2时就是5,6和 8，7这两段。F[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。预处理代码：

1. #define max(a,b) a>b?a:b  
2. #define min(a,b) a<b?a:b 

1.  void rmq()  
2.     {   int temp=(int)(log((double)n)/log(2.0));  
3.         for(int i=0;i<n;i++)  
4.             DP[i][0]=a[i];  
5.         for(int j=1;j<=temp;j++)  
6.             for(int i=0;i<n;i++)  
7.                 if(i+(1<<j)<=n) DP[i][j]=max(DP[i][j-1],DP[i+(1<<(j-1))][j-1]);   
8.     }    
9. DP二维数组结果如图所示
10. 
    
11. {注：DP是保存区间最值的二维数组，下标[i][j]代表某区间}
12. 通过DP这个数组，在此数列中，我们可以查询(i,j){i>=0,j<=9)任意一个区间的最大值。时间复杂度为O（1）。这就是sT，具体如下。
    
13. （二）ST（Sparse Table)

14. 举个例：如果我们要查询(2,7)这个区间的最大值（即：从下标2开始，到下标7这其间的数据哪个最大），则取 K=log₂(j-i+1)=log₂(7-2+1)=2 {j-i+1是区间的长度}，即区间元素个数。k将这个区间分成了两个长度为2^k的块。查最大值就是找这两个区间的最大值，即：RMQ(i,j)=max(F[i,k],F[j-2^k+1,k]);此例

15. RMQ（2，7）=max(F[2,2],F[4,2])=max(8,10)=10。F[2,2]对应的DP[2][2],F[4,2]对应的DP[4][2]。所以预处理后，查询某区间的值时间复杂度为O（1）

16. 1.  int Maxmum(int i,int j)  
    2.     {   int k=(int)(log((double)j-i+1)/log(2.0));  
    3.         return max(DP[i][k],DP[j-(1<<k)+1][k]);  
    4.     } 
    
    

17. 总结：这就是RMQ

18. 自己的理解哈，仅供参考
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