poj3468-线段树详解

什么是线段树

线段树，是一种树形结构，它的各个节点都保存的是一条线段。线段树主要是解决动态查询的问题，使用二叉树的结构后，它的操作基本的复杂度为O(logn).

线段树的每个节点表示一个区间，其左右子树表示该节点的左半区间和右半区间。比如说，一个节点为[a, b],中间的值为c=(a+b)/2,左子节点表示的区间为[a,c],右子节点表示的区间为[c+1, b]

线段树要解决的问题

问题描述：在一个数组arr[0…n-1]中，查找某个区间[a,b]上的最小值，其中数组的大小固定，但是数组中的元素可以更新。
如果使用遍历数组的方法，时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1).当数据量很大时，不可取。如果用一个二维数组来提前计算好区间[i,j]的最小值，那么预处理时间复杂度为O(n^2),空间复杂度也为O(n^2)。

我们可以用线段树解决这个问题：预处理时间为O(n),查询和更新操作为O(log(n)),需要的额外空间为O(n).为此我们构建一个二叉树：

• 叶子节点是数组中的元素
• 非叶子节点表示其所有子节点的最小值

比如对于一个数组[2,5,1,4,9,3]构造的二叉树为：

由于线段树的父节点区间是平均分割到左右子树，因此线段树是完全二叉树，对于包含n个叶子节点的完全二叉树，它一定有n-1个非叶节点，总共2n-1个节点，因此存储线段是需要的空间复杂度是O(n)。

操作

创建线段树

线段树可以直接使用数组存储。节点的结构为：

struct SegTreeNode{    int val;}

定义包含n个节点的线段树 SegTreeNode segTree[n]，segTree[0]表示根节点。那么对于节点segTree[i]，它的左孩子是segTree[2*i+1],右孩子是segTree[2*i+2]。

我们可以从根节点开始，平分区间，递归的创建线段树，线段树的创建函数如下：

const int MAXNUM = 1000;struct SegTreeNode{    int val;}segTree[MAXNUM];//定义线段树/*功能：构建线段树root：当前线段树的根节点下标arr: 用来构造线段树的数组istart：数组的起始位置iend：数组的结束位置*/void build(int root, int arr[], int istart, int iend){    if(istart == iend)//叶子节点        segTree[root].val = arr[istart];    else    {        int mid = (istart + iend) / 2;        build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树        build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树        //根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值        segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);    }}

查询线段树

已经构建好了线段树，那么怎样在它上面超找某个区间的最小值呢？查询的思想是选出一些区间，使他们相连后恰好涵盖整个查询区间，因此线段树适合解决“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”的问题。代码如下，具体见代码解释

/*功能：线段树的区间查询root：当前线段树的根节点下标[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间[qstart, qend]: 此次查询的区间*/int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend){    //查询区间和当前节点区间没有交集    if(qstart > nend || qend < nstart)        return INFINITE;    //当前节点区间包含在查询区间内    if(qstart <= nstart && qend >= nend)        return segTree[root].val;    //分别从左右子树查询，返回两者查询结果的较小值    int mid = (nstart + nend) / 2;    return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend),               query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend));}

举例说明（对照上面的二叉树）：

1、当我们要查询区间[0,2]的最小值时，从根节点开始，要分别查询左右子树，查询左子树时节点区间[0,2]包含在查询区间[0,2]内，返回当前节点的值1，查询右子树时，节点区间[3,5]和查询区间[0,2]没有交集，返回正无穷INFINITE，查询结果取两子树查询结果的较小值1，因此结果是1.

2、查询区间[0,3]时，从根节点开始，查询左子树的节点区间[0,2]包含在区间[0,3]内，返回当前节点的值1；查询右子树时，继续递归查询右子树的左右子树，查询到非叶节点4时，又要继续递归查询：叶子节点4的节点区间[3,3]包含在查询区间[0,3]内，返回4，叶子节点9的节点区间[4,4]和[0,3]没有交集，返回INFINITE,因此非叶节点4返回的是min(4, INFINITE) = 4，叶子节点3的节点区间[5,5]和[0,3]没有交集，返回INFINITE,因此非叶节点3返回min(4, INFINITE) = 4, 因此根节点返回 min(1,4) = 1。

单节点更新

单节点更新是指只更新线段树的某个叶子节点的值，但是更新叶子节点会对其父节点的值产生影响，因此更新子节点后，要回溯更新其父节点的值。

/*功能：更新线段树中某个叶子节点的值root：当前线段树的根节点下标[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间index: 待更新节点在原始数组arr中的下标addVal: 更新的值（原来的值加上addVal）*/void updateOne(int root, int nstart, int nend, int index, int addVal){    if(nstart == nend)    {        if(index == nstart)//找到了相应的节点，更新之            segTree[root].val += addVal;        return;    }    int mid = (nstart + nend) / 2;    if(index <= mid)//在左子树中更新        updateOne(root*2+1, nstart, mid, index, addVal);    else updateOne(root*2+2, mid+1, nend, index, addVal);//在右子树中更新    //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值    segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);}

比如我们要更新叶子节点4（addVal = 6）,更新后值变为10，那么其父节点的值从4变为9，非叶结点3的值更新后不变，根节点更新后也不变。

区间更新

区间更新是指更新某个区间内的叶子节点的值，因为涉及到的叶子节点不止一个，而叶子节点会影响其相应的非叶父节点，那么回溯需要更新的非叶子节点也会有很多，如果一次性更新完，操作的时间复杂度肯定不是O(lgn)，例如当我们要更新区间[0,3]内的叶子节点时，需要更新出了叶子节点3,9外的所有其他节点。为此引入了线段树中的延迟标记概念，这也是线段树的精华所在。

延迟标记：每个节点新增加一个标记，记录这个节点是否进行了某种修改(这种修改操作会影响其子节点)，对于任意区间的修改，我们先按照区间查询的方式将其划分成线段树中的节点，然后修改这些节点的信息，并给这些节点标记上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个节点p，并且决定考虑其子节点，那么我们就要看节点p是否被标记，如果有，就要按照标记修改其子节点的信息，并且给子节点都标上相同的标记，同时消掉节点p的标记。

因此需要在线段树结构中加入延迟标记域，本文例子中我们加入标记与addMark，表示节点的子孙节点在原来的值的基础上加上addMark的值，同时还需要修改创建函数build 和 查询函数 query，其中区间更新的函数为update，代码如下：

const int INFINITE = INT_MAX;const int MAXNUM = 1000;struct SegTreeNode{    int val;    int addMark;//延迟标记}segTree[MAXNUM];//定义线段树/*功能：构建线段树root：当前线段树的根节点下标arr: 用来构造线段树的数组istart：数组的起始位置iend：数组的结束位置*/void build(int root, int arr[], int istart, int iend){    segTree[root].addMark = 0;//----设置标延迟记域    if(istart == iend)//叶子节点        segTree[root].val = arr[istart];    else    {        int mid = (istart + iend) / 2;        build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树        build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树        //根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值        segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);    }}/*功能：当前节点的标志域向孩子节点传递root: 当前线段树的根节点下标*/void pushDown(int root){    if(segTree[root].addMark != 0)    {        //设置左右孩子节点的标志域，因为孩子节点可能被多次延迟标记又没有向下传递        //所以是 “+=”        segTree[root*2+1].addMark += segTree[root].addMark;        segTree[root*2+2].addMark += segTree[root].addMark;        //根据标志域设置孩子节点的值。因为我们是求区间最小值，因此当区间内每个元        //素加上一个值时，区间的最小值也加上这个值        segTree[root*2+1].val += segTree[root].addMark;        segTree[root*2+2].val += segTree[root].addMark;        //传递后，当前节点标记域清空        segTree[root].addMark = 0;    }}/*功能：线段树的区间查询root：当前线段树的根节点下标[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间[qstart, qend]: 此次查询的区间*/int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend){    //查询区间和当前节点区间没有交集    if(qstart > nend || qend < nstart)        return INFINITE;    //当前节点区间包含在查询区间内    if(qstart <= nstart && qend >= nend)        return segTree[root].val;    //分别从左右子树查询，返回两者查询结果的较小值    pushDown(root); //----延迟标志域向下传递    int mid = (nstart + nend) / 2;    return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend),               query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend));}/*功能：更新线段树中某个区间内叶子节点的值root：当前线段树的根节点下标[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间[ustart, uend]: 待更新的区间addVal: 更新的值（原来的值加上addVal）*/void update(int root, int nstart, int nend, int ustart, int uend, int addVal){    //更新区间和当前节点区间没有交集    if(ustart > nend || uend < nstart)        return ;    //当前节点区间包含在更新区间内    if(ustart <= nstart && uend >= nend)    {        segTree[root].addMark += addVal;        segTree[root].val += addVal;        return ;    }    pushDown(root); //延迟标记向下传递    //更新左右孩子节点    int mid = (nstart + nend) / 2;    update(root*2+1, nstart, mid, ustart, uend, addVal);    update(root*2+2, mid+1, nend, ustart, uend, addVal);    //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值    segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);}

区间更新举例说明：当我们要对区间[0,2]的叶子节点增加2，利用区间查询的方法从根节点开始找到了非叶子节点[0-2]，把它的值设置为1+2 = 3，并且把它的延迟标记设置为2，更新完毕；当我们要查询区间[0,1]内的最小值时，查找到区间[0,2]时，发现它的标记不为0，并且还要向下搜索，因此要把标记向下传递，把节点[0-1]的值设置为2+2 = 4，标记设置为2，节点[2-2]的值设置为1+2 = 3，标记设置为2（其实叶子节点的标志是不起作用的，这里是为了操作的一致性），然后返回查询结果：[0-1]节点的值4；当我们再次更新区间[0,1]（增加3）时，查询到节点[0-1],发现它的标记值为2，因此把它的标记值设置为2+3 = 5，节点的值设置为4+3 = 7；

其实当区间更新的区间左右值相等时（[i,i]），就相当于单节点更新，单节点更新只是区间更新的特例。

例题poj3468

/*poj 3468-线段树http://poj.org/problem?id=3468You have N integers, A1, A2, ... , AN. You need to deal with two kinds of operations.One type of operation is to add some given number to each number in a given interval. The other is to ask for the sum of numbers in a given interval.题目大意：对于给定的一组数，有两种操作：求某个区间的和以及更新某个区间的值解题思路：用线段树。*/#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;//#pragma warning(disable:4996)#define ll long longinline int L(int r){    return r << 1;}inline int R(int r){    return (r << 1) + 1;}inline int MID(int l, int r){    return (l + r) >> 1;}const int max_n = 1e5 + 10;ll sum;//树的节点结构：线段的起点left和重点right//[left, right]的和以及更新值addstruct node{    int left;    int right;    ll val;    ll add;}tree[max_n<<2];//interval treell arr[max_n << 2];//init array//建一棵树void Built(int l, int r, int root){    tree[root].left = l;    tree[root].right = r;    tree[root].add = 0;    if (l == r)    {        tree[root].val = arr[l];        return;    }    else    {        //递归构建左右子树        int mid = MID(l, r);        Built(l, mid, L(root));        Built(mid + 1, r, R(root));        //更新root        tree[root].val = tree[L(root)].val + tree[R(root)].val;    }}void Update(int root){    //更新子树    if (tree[root].add)    {        tree[L(root)].add += tree[root].add;//        tree[R(root)].add += tree[root].add;//        tree[L(root)].val += (tree[L(root)].right - tree[L(root)].left + 1)*tree[root].add;        tree[R(root)].val += (tree[R(root)].right - tree[R(root)].left + 1)*tree[root].add;        tree[root].add = 0;    }}//加上vvoid Add(int l, int r, ll v, int root){    if (l <= tree[root].left && r >= tree[root].right)    {        tree[root].add += v;        tree[root].val += v*(tree[root].right - tree[root].left + 1);        return;    }    else     {        //分别在左右子树上增加        Update(root);        if (tree[root].left == tree[root].right)            return;        int mid = MID(tree[root].left, tree[root].right);        if (l > mid)            Add(l, r, v, R(root));        else if (r <= mid)            Add(l, r, v, L(root));        else        {            Add(l, mid, v, L(root));            Add(mid + 1, r, v, R(root));        }        tree[root].val = tree[L(root)].val + tree[R(root)].val;    }}void Solve(int l, int r, int root){    if (l <= tree[root].left && r >= tree[root].right)    {        sum += tree[root].val;        return;    }    else {        Update(root);        if (tree[root].left == tree[root].right)            return;        int mid = MID(tree[root].left, tree[root].right);        if (l > mid)            Solve(l, r, R(root));        else if (r <= mid)            Solve(l, r, L(root));        else        {            Solve(l, mid, L(root));            Solve(mid + 1, r, R(root));        }    }}int main(){    //freopen("poj3468.txt", "r", stdin);    int m, n;    while (scanf("%d %d", &m, &n) != EOF)    {        for (int i = 1; i <= m; ++i)            scanf("%lld", arr + i);        //建树        Built(1, m, 1);        char c[2];        while (n--)        {            scanf("%s", c);            if ('C' == c[0])            {                int l, f;                ll v;                scanf("%d %d %lld", &l, &f, &v);                Add(l, f, v, 1);            }            else            {                int l, f;                scanf("%d %d", &l, &f);                sum = 0;                Solve(l, f, 1);                printf("%lld\n", sum);            }        }    }}

参考

[1]http://www.cnblogs.com/TenosDoIt/p/3453089.html
[2]http://www.cppblog.com/cxiaojia/archive/2011/11/22/poj3468.html