1096: [ZJOI2007]仓库建设

1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 

上周打的题，结果wang了，想了半天。然后发现没有用long long。好傻逼。

t[i]=x[1]*p[1]+x[2]*p[2]+..+x[i]*p[i].

首先推出原始方程f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j])*x[i]-(t[i]-t[j]))

然后推斜率。

j<k

f[j]-f[k]<sum[j]*x[i]-sum[k]*x[i]

f[j]-f[k]<x[i](sum[j]-sum[k])

(f[j]-f[k])/(sum[j]-sum[k])<x[i]

于是我们推出slope(j,k)<x[i]

两条性质：

1.slope(j,k)<x[i] ,j<k

2. if j<k<i  slope(j,k)<slope(k,i) k不是最优解，可以舍去。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
const int N=1010000;
int n;
long long sa[N];//距离
long long sb[N];//成品数量
long long ss[N];//建仓库的费用
long long sum[N];//前缀和
long long f[N];//到i点的最小值
long long t[N];//t[i]=sa[1]*sb[1]+...+sa[i]*sb[i]
double slope(int x,int y)
{
return (double)(f[x]-f[y]+t[x]-t[y])/(double)(sum[x]-sum[y]);
}
int j,k;
int yu[N];
int main()
{
sum[0]=0;t[0]=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{ scanf("%lld",&sa[i]);
scanf("%lld",&sb[i]);
scanf("%lld",&ss[i]);
sum[i]=sum[i-1]+sb[i];
t[i]=t[i-1]+sa[i]*sb[i];
}

j=0;k=0;yu[1]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(k<j&&slope(yu[k+1],yu[k])<(double)sa[i]) k++;
int k2=yu[k];
f[i]=f[k2]+sum[i-1]*sa[i]-sum[k2]*sa[i]-t[i-1]+t[k2]+ss[i];
while(k<j&&slope(i,yu[j])<slope(yu[j],yu[j-1])) j--;
yu[++j]=i;
}
printf("%lld",f[n]);
}