数据结构3--树与二叉树

1.树的基本概念

树是n（n>=0)个结点的有限集，n=0时，该树被称为空树。

（1）不同的节点：根节点，内部节点，叶子节点以及节点的度；

（2）节点的关系：双亲，孩子，兄弟；

（3）节点的层次：结点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。树中结点的最大层次称为树的深度或高度。

2.二叉树

二叉树的特点

（1）每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的节点；

（2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒；

（3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

2.1 二叉树的顺序存储结构

二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点。

一般，顺序存储结构只适用于完全二叉树。

2.2 二叉树的链式存储结构

由于二叉树每个结点最多有两个孩子，所以设计一个数据域和两个指针域是比较自然的想法，称这样的链表为二叉链表。其中data是数据域，lchild和rchild都是指针域，分别存放指向左孩子和右孩子的指针。

2.3 二叉树的递归遍历

二叉树的三种基本遍历：前序，中序以及后序遍历；

（1）前序遍历：若根节点不为空，则先访问根节点，然后先序遍历左子树，最后先序遍历右子树；

（2）中序遍历：若根节点不为空，则先中序遍历左子树，再访问根节点，最后中序遍历右子树；

（3）后序遍历：若根节点不为空，则首先后序遍历左子树，其次后序遍历右子树，最后访问根节点；

2.4 递归与循环

递归是通过一个递归工作栈实现的。具体是每次调用函数本身要保存的内容包括：局部变量、形参、调用函数地址、返回值。

PS：关于系统栈和用户栈：
①系统栈（也叫核心栈、内核栈）是内存中属于操作系统空间的一块区域，其主要用途为：
    (1)保存中断现场，对于嵌套中断，被中断程序的现场信息依次压入系统栈，中断返回时逆序弹出； 
    (2)保存操作系统子程序间相互调用的参数、返回值、返回点以及子程序(函数)的局部变量。
②用户栈是用户进程空间中的一块区域，用于保存用户进程的子程序间相互调用的参数、返回值、返回点以及子程序(函数)的局部变量。
我们编写的递归程序属于用户程序，因此使用的是用户栈。

2.5 二叉树的非递归遍历

（1）前序遍历的非递归

  在该方法中，利用了栈的先进后出的特性，首先遍历显示根节点，然后将右子树（注意是右子树不是左子树）压栈，最后将左子树压栈。由于最后时将左子树节点压栈，所以下一次首先出栈的应该是左子树的根节点，也就保证了先序遍历的规则。

（2）中序遍历的非递归

  在该方法中，首先将根节点所有的左子树节点压栈，然后一一出栈，每当出栈一个元素后，便将其右子树节点压栈。这样就可以实现首先出栈的永远是栈中的左子树节点，然后是根节点，最后时右子树节点，也就可以保证中序遍历的规则。

（3）后序遍历的非递归

  在该方法中，使用了两个栈来辅助，其中一个stackIn作为中间存储起到过渡作用，而另一个stackOut则作为最后的输出结果进行遍历显示。每当循环一次就会从stackIn中出栈一个元素，并压入stackOut中，那么这时stackOut中的出栈顺序则变成了左孩子->右孩子->根节点的顺序，也就符合了后序遍历的规则。

（4）层次遍历

  在该方法中，使用了一个队列来辅助实现，队列是遵循FIFO（先进先出）的，与栈刚好相反，所以，我们这里只需要按照根节点->左孩子->右孩子的入队顺序依次入队，输出时就可以符合根节点->左孩子->右孩子的规则了。

2.6 二叉查找树

二叉查找树（Binary Search Tree）又称二叉排序树（Binary Sort Tree），亦称二叉搜索树。它具有以下几个性质：
　（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
　（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
　（3）左、右子树也分别为二叉排序树；
　（4）没有键值相等的节点。
对于二叉查找树，我们只需要进行一次中序遍历便可以得到一个排序后的遍历结果。