pku 3682 King Arthur's Birthday Celebration(负二项分布、帕斯卡分布以及期望方差公式的应用)

题意如此理解：国王过生日要举办宴会，以抛硬币来决定宴会的结束：当国王举行第k次的生日，则每天抛一次硬币，硬币正面概率为p，反面则为（1-p），则当国王抛到第k次正面硬币的情况下，结束生日party，而每天生日party的开销为一个a0=1，d=2的等差数列，问国王生日party举行的天数的期望和开销的期望？

    这道有点郁闷，在北大月赛中算是一道简单题，只不过做的时候题目都没理解进去，更别提做出来。

1、首先要求的 the expected number of days and the expected number of coins中的expected 是期望的意思，这个没知道，属于语言上的缺憾。

2、没有领悟过来这是一道负二项分布的题目（其实好像我只记得有二项分布，对负二项分布没什么印象）；

3、再次也是最难的：没有想到还有这个公式用于求随机变量的期望：D(x) = E(x^2) - E(x)*E(x) ==》 E(x^2) = D(x) +E(x)*E(x)。

讲了上面三点解题思路应该出来了：

首先the expected number of days ，就是负二项分布的期望E(x) = k/p。负二项分布的概念：

    负二项分布又称帕斯卡分布，是一种离散型分布，常用于描述生物群聚性，医学上用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布，负二项分布的试验次数不固定也就是二项分布的n=x+k。
    负二项分布，试验独立进行，每次只有两个结果，A，B，其中P(A)＝p，P(B)=1-p，试验独立进行到事件A发生r次停止，X表示到试验结束时，事件B发生的次数，则X的分布列为负二项分布.

    负二项分布，记作ξ~NB(k，p) ，其期望E(ξ)=k(1-p)/p, 方差D(ξ)=k(1-p)/p^2，其中k为事件A发生k次停止，p为时间A发生的概率。

    因此设国王开party的天数为X，则X=k的概率为C(k, k)*p^k，X=k+1的概率为C(k+1, k)*p^k**(1-p)，.....X=k+n的概率为C(k+n, k)*p^k*(1-p)^n，则X就服从负二项分布X~NB(k，p) 。其期望E(X) = k/p。

    设国王开party的开销为E，则E=X^2。因为：第i天party的开销为ai = 2*i-1，则进行i天的开销Ei = Si = a1 + a2 + a3 .... + ai = i^2（出题者的目的昭然若揭），则E = X^2。因此E(X^2)=D(X)+E(X)*E(X) = k(1-p)/p^2 + (k/p)*(k/p)。

    至此此题算是有个结果了，我想说的是这道简单题真不简单，至少对我而言。