【算法概论】6.动态规划

6 动态规划

6.1 重新审视DAG的最短路径问题

• 有向无环图DAG的节点可以被线性化：

procedure dag-shortest-paths(G,l,s)    Input:  Graph G=(V,E), dag;            edge lengths {le:e ∈ E};            vertex s ∈ V    Output: For all vertices u reachable from s,dist(u) is set            to the distance from s to u.    for all u ∈ V        dist(u)= ∞    dist(s)=0    Linearize G //通过深度优先搜索线性化(拓扑排序)    for each u ∈ V in Linearized order:        for all edges (u,v) ∈ E:            dist(v)=min(dist(u)+l(u,v))

6.2 最长递增子序列

for j=1,2,...,n    L(j)=1+max{L(i):(i,j) ∈ E}return L//i为j的前驱，求反转图Gr即可

6.3 编辑距离

将两个单词进行对齐，对齐代价为对应字母不相同的列数

6.3.1 一种动态规划的解

寻找两个字串：x[1...m],y[1...n]之间的编辑距离E(m,n)，考虑字符串的前缀：x[1...i],y[1...j]的编辑距离E(i,j)。

则：

E(i,j)=min{1+E(i−1,j),1+E(i,j−1),diff(i,j)+E(i−1,j−1)}

for i=0,...,m:    E(i,0)=ifor j=0,...,n:    E(0,j)=jfor i=1,...,m:    for j=1,...,n:        E(i,j)=min{1+E(i-1,j),1+E(i,j-1),diff(i,j)+E(i-1,j-1)}return E

6.3.2 隐含的dag

每个动态规划都隐含着一个dag结构：每个节点表示一个子问题，每条边表示解决子问题时的先后约束。

除边{(i−1,j−1)→(i,j):x[i]=y[j]}为0外，其余边为0；问题转为求点s=(0,0)到点t=(m,n)的最短距离。

其中，为使EXPONENTIAL转为POLYNOMIAL

• 向下表示删除
• 向右表示插入

• 向对角线表示匹配或替换

  

6.4 背包问题

• n件物品，W总重量的背包，复杂度O(nW)

6.4.1 多副本背包问题

• Knapsack with repetition

定义K(w)=容量w可以容纳的最高价值，则：K(w)=maxi:wi≤w{K(w−wi)+vi}

K(0)=0for w=1 to W    K(w)=max{K(w-w_i)+v_i:w_i≤w}return K(W)

6.4.2 单副本背包问题

• Knapsack without repetition

定义K(w,j)=基于容量w、1...j个物品可以容纳的最高价值，则：K(w)=max{K(w−wi,j−1)+vi,K(w,j−1)}

for j=1...n:    K(0,j)=0for w=1...W:    K(w,0)=0for j=1...n:    for w=1...W:        if w_j > w:            K(w,j)=K(w,j-1)        else:            K(w,j)=max{K(w,j-1),K(w-w_j,j-1)+v_j}return K(W,n)

6.5 矩阵链式相乘

• 矩阵A[m0,m1]与A[m1,m2]相乘的复杂度为O(m0∗m1∗m2)
• 求n个矩阵相乘：A1∗A2∗...∗An

定义C(i,j)=计算Ai∗Ai+1∗...∗Aj的最小代价，则：C(i,j)=mini≤k<j{C(i,k)+C(k+1,j)+mi−1∗mk∗mj}

for i=1...n:    C(i,i)=0for s=1...n-1:    for i=1...n-s:        j=i+s        C(i,j)=min{C(i,k)+C(k+1,j)+m(i-1)*m(k)*m(j):i≤k<j}return C(1,n)

6.6 最短路径问题

6.6.1 最短可靠路径

• 求s到t最多经过k条边的最短路径

定义dist(v,i)=s到v经过i条边的最短路径dist(v,i)=min(u,v)∈E{dist(u,i−1)+l(u,v)}

6.6.2 所有顶点间的最短路径

• 包含负边的s源点最短路径算法复杂度O(|V|∗|E|)；对每一个顶点进行遍历，则复杂度为O(|V|2∗|E|)
• 基于动态规划的Floyd-Warshall算法，复杂度为O(|V|3)

定义shortestPath(i,j,k)=使用{1,...,k}为中间节点时，i到j的最短路径shortestPath(i,j,k+1)=min(shortestPath(i,j,k),shortestPath(i,k+1,k)+shortestPath(k+1,j,k))

let dist be a |V| × |V| array of minimum distances initialized to ∞ (infinity)for each vertex v   dist[v][v] ← 0for each edge (u,v)   dist[u][v] ← w(u,v)  // the weight of the edge (u,v)for k from 1 to |V|   for i from 1 to |V|      for j from 1 to |V|         if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]             dist[i][j] ← dist[i][k] + dist[k][j]         end if

6.6.3 旅行商问题TSP

• 对于包含城市1的子集S⊂{1,2,...,n}，以及j∈S，令C(S,j)为由1出发、终点为j的经过s所有节点恰好一次的最短路径长度。O(n22n)

C(S,j)=mini∈S:i≠j{C(S−{j})+dij}

function algorithm TSP (G, n)   for k := 2 to n do     C({1, k}, k) := d(1,k)   end for   for s := 3 to n do     for all S ⊆ {1, 2, . . . , n}, |S| = s do       for all k ∈ S do         {C(S, k) = min_{m≠1,m≠k,m∈S} [C(S − {k}, m) + d(m,k) ]}       end for     end for   end for   opt := min_{k≠1} [C({1, 2, 3, . . . , n}, k) + d(k,1)]   return (opt) end

6.7 树中的独立集

• 选定树中任意节点r为树根，子问题：

I(u)=u下子树的最大独立集规模I(u)=max{1+∑w为u孩子的孩子I(w),∑w为u的孩子I(w)}