OMP算法学习笔记

来源：互联网发布：指静脉识别算法源代码编辑：程序博客网时间：2024/05/02 02:20

OMP算法

参考文献

[1] Y. C. Pati, R. Rezaiifar, and P. S. Krishnaprasad, “Orthogonal matching pursuit: recursive function approximation with applications to wavelet decomposition,” in Proceedings of 27th Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers, 1993, pp. 40–44 vol.1.
[2] J. A. Tropp and A. C. Gilbert, “Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching Pursuit,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 53, no. 12, pp. 4655–4666, Dec. 2007.
https://cn.mathworks.com/help/wavelet/ug/matching-pursuit-algorithms.html

介绍

OMP算法用于信号恢复的稀疏近似，假设s∈Rd的稀疏度为k，{x1,...,xN}是N个测量向量，Φ∈RN×d是一个测量矩阵，测量值v=Φs，也就是说Φ∈RN×d是字典矩阵的m个列向量的线性组合。

算法的思想是对于信号s∈Rd，我们要确定Φ∈RN×d的哪几列参与到了v的测量中来，以贪婪迭代的方式找出这些列来，每次迭代时，我们选择v中和的剩余部分最相关的部分来，然后在中减去他们的贡献，对剩余项进行迭代，在m次迭代后，算法将得到正确的列。

算法表述

算法表述如下
这里写图片描述

Tropp最先提出这种算法，算法的代码code

也可以参见这篇博客

%  1-D信号压缩传感的实现(正交匹配追踪法Orthogonal Matching Pursuit)%  测量数M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信号长度,可以近乎完全重构%  编程人--香港大学电子工程系 沙威  Email: wsha@eee.hku.hk%  编程时间：2008年11月18日%  文档下载: http://www.eee.hku.hk/~wsha/Freecode/freecode.htm %  参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert %  Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching%  Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12,%  DECEMBER 2007.clc;clear%%  1. 时域测试信号生成K=7;      %  稀疏度(做FFT可以看出来)N=256;    %  信号长度M=64;     %  测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)f1=50;    %  信号频率1f2=100;   %  信号频率2f3=200;   %  信号频率3f4=400;   %  信号频率4fs=800;   %  采样频率ts=1/fs;  %  采样间隔Ts=1:N;   %  采样序列x=0.3*cos(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*cos(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*cos(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*cos(2*pi*f4*Ts*ts);  %  完整信号,由4个信号叠加而来%%  2.  时域信号压缩传感Phi=randn(M,N);                                   %  测量矩阵(高斯分布白噪声)64*256的扁矩阵，Phi也就是文中说的D矩阵s=Phi*x.';                                        %  获得线性测量 ，s相当于文中的y矩阵%%  3.  正交匹配追踪法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题)%匹配追踪：找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波；在数据中去除这个标记的所有印迹；不断重复直到我们能用小波标记“解释”收集到的所有数据。m=2*K;                                            %  算法迭代次数(m>=K)，设x是K-sparse的Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N);                        %  傅里叶正变换矩阵T=Phi*Psi';                                       %  恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵)hat_y=zeros(1,N);                                 %  待重构的谱域(变换域)向量                     Aug_t=[];                                         %  增量矩阵(初始值为空矩阵)r_n=s;                                            %  残差值for times=1:m;                                    %  迭代次数(有噪声的情况下,该迭代次数为K)    for col=1:N;                                  %  恢复矩阵的所有列向量        product(col)=abs(T(:,col)'*r_n);          %  恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值)     end    [val,pos]=max(product);                       %  最大投影系数对应的位置，即找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波    Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)];                       %  矩阵扩充        T(:,pos)=zeros(M,1);                          %  选中的列置零（实质上应该去掉，为了简单我把它置零），在数据中去除这个标记的所有印迹    aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s;           %  最小二乘,使残差最小    r_n=s-Aug_t*aug_y;                            %  残差    pos_array(times)=pos;                         %  纪录最大投影系数的位置endhat_y(pos_array)=aug_y;                           %  重构的谱域向量hat_x=real(Psi'*hat_y.');                         %  做逆傅里叶变换重构得到时域信号%%  4.  恢复信号和原始信号对比figure(1);hold on;plot(hat_x,'k.-')                                 %  重建信号plot(x,'r')                                       %  原始信号legend('Recovery','Original')norm(hat_x.'-x)/norm(x)                           %  重构误差

代码运行后的结果如下
信号恢复效果

一点感想

这是第一篇博客，写的比较随意。看到这句话很有感慨，如果你有时间、有条件、有氛围去学习和研究，请抓住机会，别等有一天你想搞点研究的时候发现你根本没有时间、没有条件、没有氛围……

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