Dijkstra's 算法

迪杰斯特拉算法

迪杰斯特拉算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

原理：

按路径长度递增次序产生最短路径算法：
把V分成两组：
（1）S：已求出最短路径的顶点的集合
（2）V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合
将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，
保证：（1）从源点V0到S中各顶点的最短路径长度都不大于
从V0到T中任何顶点的最短路径长度
（2）每个顶点对应一个距离值
中顶点：从V0到此顶点的最短路径长度
T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间
顶点的最短路径长度
依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的
直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和
（反证法可证）
求最短路径步骤
算法步骤如下：
1.初使时令S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值
若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值
若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∝
2.从T中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中，加入S
3.对T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的
距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值
重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即S=T为止

算法实现：

求从1开始到最后一个数5的最短路径：

输入数据：

5 7

1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60

输出数据：

60

#include <iostream>#include<cstring>#define MAX 100#define MAX_DIS 1000000using namespace std;int digiskal(int mat[][MAX], int n, int s, int e) {int min, k = 0, dis[MAX], mark[MAX];memset(mark, 0, sizeof(mark));for(int i= 0; i< n; i++) dis[i]= mat[s][i];mark[s]= 1;dis[s]= 0;for (int i = 1; i< n; i++) {min = MAX_DIS;for (int j = 0; j< n; j++) {if (mark[j] == 0&& dis[j] < min) {min = dis[j];k = j;}}mark[k] = 1;for (int j= 0; j< n; j++) {if (mark[j] == 0&& (dis[j] > (dis[k] + mat[k][j]))) {dis[j] = dis[k] + mat[k][j];}}}return dis[e];}int main() {int n, m, a, b, dis, mat[MAX][MAX];cin>> n>> m;for (int i = 0; i< n; i++) {for (int j = 0; j< n; j++) {mat[i][j] = MAX_DIS;}}for (int i = 0; i< m; i++) {cin>> a>> b>> dis;a--, b--;mat[a][b] = mat[b][a] = dis;}cout<< digiskal(mat, n, 0, n- 1)<< endl;}