[Noi2008]志愿者招募（BZOJ1061）

来源：互联网发布：ummy mac 破解编辑：程序博客网时间：2024/05/21 02:33

输入

　　第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。接下来的一行中包含N 个非负

整数，表示每天至少需要的志愿者人数。接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了

方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

输出

　　仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

样例输入

3 3
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2

样例输出

提示

1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均不超过2^31-1。

个人感觉这是个神题，如果说真的在考场上遇到，估计就只有30~50分的暴力分，但是对于这个题我觉得最难的肯定不是代码的实现，最难的还是在题目中抽象出数学模型，

设雇佣第i类志愿者的人数为X[i]，每个志愿者的费用为V[i]，第j天雇佣的人数为P[j]，则每天的雇佣人数应满足一个不等式，如上表所述，可以列出

P[1] = X[1] + X[2] >= 4

P[2] = X[1] + X[3] >= 2

P[3] = X[3] + X[4] +X[5] >= 5

P[4] = X[5] >= 3

对于第i个不等式，添加辅助变量Y[i] (Y[i]>=0) ，可以使其变为等式

P[1] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4

P[2] = X[1] + X[3] - Y[2] = 2

P[3] = X[3] + X[4] +X[5] - Y[3] = 5

P[4] = X[5] - Y[4] = 3

在上述四个等式上下添加P[0]=0,P[5]=0，每次用下边的式子减去上边的式子，得出

① P[1] - P[0] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4

② P[2] - P[1] = X[3] - X[2] -Y[2] +Y[1] = -2

③ P[3] - P[2] = X[4] + X[5] - X[1] - Y[3] + Y[2] =3

④ P[4] - P[3] = - X[3] - X[4] + Y[3] - Y[4] = -2

⑤ P[5] - P[4] = - X[5] + Y[4] = -3

观察发现，每个变量都在两个式子中出现了，而且一次为正，一次为负。所有等式右边和为0。接下来，根据上面五个等式构图。

每个等式为图中一个顶点，添加源点S和汇点T。

如果一个等式右边为非负整数c，从源点S向该等式对应的顶点连接一条容量为c，权值为0的有向边；如果一个等式右边为负整数c，从该等式对应的顶点向汇点T连接一条容量为c，权值为0的有向边。

如果一个变量X[i]在第j个等式中出现为X[i]，在第k个等式中出现为-X[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为V[i]的有向边。

如果一个变量Y[i]在第j个等式中出现为Y[i]，在第k个等式中出现为-Y[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为0的有向边。

构图以后，求从源点S到汇点T的最小费用最大流，费用值就是结果。

附代码：

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <algorithm>#include <string.h>#include <math.h>#include <queue>using namespace std;const int MAXN=500;const int INF=1684300900;struct node{       int x,y,next,cost,op,d;}e[MAXN*100];int first[MAXN*100],pre[MAXN*100];int n,m,tot,S,T,ans;int a[MAXN*5],d[MAXN*5];bool b[MAXN*5];queue<int> q;void Add(int x,int y,int c,int d){     e[++tot].y=y;     e[tot].x=x;     e[tot].d=d;     e[tot].cost=c;     e[tot].op=tot+1;     e[tot].next=first[x];     first[x]=tot;     e[++tot].y=x;     e[tot].x=y;     e[tot].d=0;     e[tot].cost=-c;     e[tot].op=tot-1;     e[tot].next=first[y];     first[y]=tot;}void Init(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for (int i=1;i<=n;++i)        scanf("%d",&a[i]);    for (int i=1;i<=m;++i)    {        int x,y,z;        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);        Add(x,y+1,z,INF);    }    S=0,T=n+2;    for (int i=1;i<=n+1;++i)    {        int temp=a[i]-a[i-1];        if (temp>0) Add(S,i,0,temp); else Add(i,T,0,-temp);        if (i>1) Add(i,i-1,0,INF);    }}void init(){   scanf("%d%d",&n,&m);   for(int i=1;i<=n;i++)   scanf("%d",&a[i]);   for(int i=1;i<=m;i++)   {       int x,y,z;       scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);       Add(x,y+1,z,INF);   }   S=0;   T=n+2;   for(int i=1;i<=n+1;i++)   {       int temp=a[i]-a[i-1];       if(temp>0) Add(S,i,0,temp);       else Add(i,T,0,-temp);       if(i>1) Add(i,i-1,0,INF);   }}bool SPFA(){     memset(b,0,sizeof(b));     memset(d,100,sizeof(d));     d[S]=0,b[S]=1,q.push(S),pre[S]=-1;     while (!q.empty())     {           int u=q.front();           b[u]=0,q.pop();           for (int i=first[u];i;i=e[i].next)               if (d[e[i].y]>d[u]+e[i].cost && e[i].d>0)               {                                            d[e[i].y]=d[u]+e[i].cost;                                            pre[e[i].y]=i;                                            if (!b[e[i].y])                                            {                                                           b[e[i].y]=1;                                                           q.push(e[i].y);                                            }               }     }     return d[T]<INF;}void Find(){     int Min=INF;     for (int i=pre[T];i!=-1;i=pre[e[i].x])         Min=min(Min,e[i].d);     for (int i=pre[T];i!=-1;i=pre[e[i].x])     {         e[i].d-=Min;         e[e[i].op].d+=Min;         ans+=Min*e[i].cost;     }}int main(){   init();    while (SPFA()) Find();    printf("%d\n",ans);return 0;}

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